Question

Exercício 2
Suponha que o ponto P(x₁, x₂) pertença a uma figura que se deseja girar 60° no sentido anti- horário.
a) Qual será então, a matriz transformação que deve ser multiplicada a P para que ocorra tal giro de 60° no sentido anti-horário?
b) Quais as coordenadas da nova posição do ponto P?
c) Se tivermos P(√3, 3), quais as coordenadas da nova posição de P?​

Answer 1

Considerando as informações presentes no enunciado e os conhecimentos referentes a matrizes de rotação, é possível afirmar que:

(a) $\left[\begin{array}{ccc}1/2&-\sqrt{3}/2\\\sqrt{3}/2&1/2\end{array}\right]$

(b) As novas coordenadas serão $P = (x_1/2 - x_2\sqrt{3}/2, x_1\sqrt{3}/2+x^2/2)$

(c) As novas coordenadas serão $P = (-\sqrt{3},3)$

Sobre matrizes de rotação:

• Matrizes lineares ou transformações lineares são capazes de gerar diferentes tipos de deformação no espaço, incluindo rotações. Sabendo disso, a matriz que rotaciona o espaço no sentido anti-horário é dada por:

$\left[\begin{array}{ccc}\cos{\theta}&-\sin{\theta}\\\sin{\theta}&\cos{\theta}\end{array}\right]$

Deste modo, basta substituir o ângulo desejado, neste caso, 60° e encontraremos a matriz de transformação:

$\left[\begin{array}{ccc}1/2&-\sqrt{3}/2\\\sqrt{3}/2&1/2\end{array}\right]$

• As novas coordenadas do ponto P serão determinadas ao aplicá-lo na matriz de rotação, ou seja, multiplicar o ponto pela matriz:

$\left[\begin{array}{ccc}x_1\\x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1/2&-\sqrt{3}/2\\\sqrt{3}/2&1/2\end{array}\right]$

Efetuando a multiplicação de coluna por linha, teremos:

$\left[\begin{array}{ccc}x_1/2 - x_2\sqrt{3}/2\\ x_1\sqrt{3}/2+x^2/2\end{array}\right]$

Que são as novas coordenadas em forma matricial.

• Agora, para determinar as novas coordenadas deste ponto, podemos aplicar novamente a matriz ou simplesmente aplicar os valores as novas coordenadas do ponto genérico, que no fim, são o mesmo resultado:

$\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{3}/2 - 3\sqrt{3}/2\\ (\sqrt{3})^2/2+3/2\end{array}\right] = > \left[\begin{array}{ccc}-\sqrt{3}\\ 3\end{array}\right]$

Saiba mais sobre matrizes de rotação em https://brainly.com.br/tarefa/14511514

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