Question

Exercício 2
Suponha que o ponto P(x₁,x₂) pertença a uma figura que se deseja girar 60° no sentido anti- horário. a) Qual será então, a matriz transformação que deve ser multiplicada a P para que ocorra tal giro de 60° no sentido anti-horário? b) Quais as coordenadas da nova posição do ponto P? c) Se tivermos P(√3, 3), quais as coordenadas da nova posição de P?
ME AJUDEM, PVF​

Answer 1

Considerando as informações presentes no enunciado e os conhecimentos referentes a transformações lineares, é possível afirmar que:

• (a) $\left[\begin{array}{ccc}1/2&-\sqrt{3}/2\\\sqrt{3}/2&1/2\end{array}\right]$
• (b) $P' = (\frac{x_1}{2}-\frac{x_2\sqrt{3}}{2},\frac{x_1\sqrt{3}}{2}+\frac{x_2}{2})$
• (c) $P' = (-\sqrt{3},3)$

Sobre transformações lineares:

• A forma geral de toda matriz de rotação em sentido anti-horário é dada por:

$\left[\begin{array}{ccc}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{array}\right]$

Deste modo, para encontrar a transformação que gire 60° basta substituir o valor do seno e cosseno deste ângulo, logo:

$\left[\begin{array}{ccc}1/2&-\sqrt{3}/2\\\sqrt{3}/2&1/2\end{array}\right]$

• Precisamos multiplicar a matriz encontrada pelo ponto P para encontrar suas novas coordenadas:

$\left[\begin{array}{ccc}x_1\\x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1/2&-\sqrt{3}/2\\\sqrt{3}/2&1/2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x_1/2-x_2\sqrt{3}/2\\x_1\sqrt{3}/2+x_2/2\end{array}\right]$

• Por fim, para encontrar o ponto $P'= (\sqrt{3},3)$, devemos substituir x1 por raiz de três e x2 por três:

$\left[\begin{array}{ccc}x_1/2-x_2\sqrt{3}/2\\x_1\sqrt{3}/2+x_2/2\end{array}\right]= > \left[\begin{array}{ccc}\sqrt{3}/2-3\sqrt{3}/2\\(\sqrt{3})^2/2+3/2\end{array}\right]= > \left[\begin{array}{ccc}-\sqrt{3}\\3\end{array}\right]$

Portanto, as novas coordenadas do ponto P serão $P' = (-\sqrt{3},3)$.

Saiba mais sobre transformações lineares em https://brainly.com.br/tarefa/52500661

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