Question

Exercício 11. Uma calha deve ser construída com uma folha de metal de largura 30cm dobrando-se para cima 1/3 da folha de cada lado, fazendo-se um ângulo θ com a horizontal. Como deve ser escolhido θ de forma que a capacidade de carregar a água na calha seja máxima?

Answer 1

A capacidade máxima de água na calha está relacionada com seu volume. Temos que imaginar que a imagem formada por essa folha de metal é um trapézio, ou seja, uma imagem formada por um retângulo no centro com dois triângulos retângulos iguais nas duas laterais. Assim, vamos calcular a área formada por esse polígono, sabendo que o volume é:

V = A . L,

sendo A a área do polígono e L p comprimento.

Assim, temos que:

A1 = L x L = 10 . h (área do retângulo) = 10.10.senθ = 100.senθ

sendo b = 10.cosθ e h = 10.senθ

A2 = (b x h)/2 = (10.cosθ x 10.senθ)/2 = 50.cosθ.senθ

A3 = 50.cosθ.senθ

Somando as áreas do polígono: A1 + A2 + A3

At = 100.senθ + 50.senθ.cosθ + 50.senθ.cosθ =

At = 100.senθ + 100.senθ.cosθ =

At = 100.(senθ + senθ.cosθ)

Sabemos que o ângulo formado é menor que 90°, portanto o intervalo de π é:

0 ≤ θ ≤ π/2

A derivada de At (At') deve ser zero, então:

At'(θ) = 100.(senθ + senθ.cosθ)

At'(θ) = 100.(cosθ + cos²θ - sen²θ)

At'(θ) = 100.(cosθ + cos²θ - (1 - cos²θ))

At'(θ) = 100.(cosθ + 2cos²θ - 1)

At'(θ) = 100.(2cosθ - 1)(cosθ +1) = 0

Para At'(θ) ser igual a zero, então :

- 2.cosθ -1 = 0 → cosθ = 1/2 → θ = 60° = π/3

- cosθ+1 = 0 → cosθ = -1 → θ = 180° = π

Voltando a equação original A e substituindo os valores de θ, temos:

A(π/3) = 130 m²

A(π) = 0 m²

Portanto o valor de θ que tem maior área é θ = π/3.