Question

Exerc´ıcio 18. Na figura abaixo temos um semic´ırculo de
raio 1 inscrito em um quadrado de modo que seu centro
passe por uma das diagonais do quadrado. Qual e a ´ area ´
do quadrado?
a) 3/2 +
√
2.
b) 1 + 2
√
2.
c) 5 +
√
2/2.
d) 4.
e) 2/3 +
√
2quem for bom matemática, me ajude!

Answer 1

Resposta:

Alternativa a)

Explicação passo-a-passo:

Chamando o centro da circunferência de O (ver em anexo).

Como o arco tangência o quadrado no ponto E o ângulo formado AÊO vale 90°.

Como AC é uma diagonal então o ângulo formado DÂC=45°. A soma dos ângulos internos do triângulo EAO será 180°, logo AÔE=45°. Dessa forma o segmento AE também vale 1.

Pelo Teorema de Pitágoras:

AO²=AE²+EO²=1²+1²=2=> AO=√2

Como AC é uma diagonal então o ângulo formado DCA=45°. Utilizando o mesmo raciocínio anterior o segmento OQ=OC=1

A diagonal (d) do triângulo:

d=AO+OC= √2+1

A diagonal de um quadrado:

d=L√2, onde L é o lado do quadrado

√2+1=L√2

L=(√2+1)/√2

A área (A) do quadrado:

A=L²=[(√2+1)/√2]²=(√2+1)²/(√2)²=(√2+1)²/2=(2+2√2+1)/2=(3+2√2)/2=3/2+√2