Question

Eva tem 9 maçãs indistinguíveis e deseja distribuí-las a 3 amigos de forma que cada um deles fique com, ao menos, 2 maçãs.

O número de maneiras distintas de Eva distribuir as maçãs é

Answer 1

Resposta:

Eva pode distribuir as 9 maçãs entre os 3 amigos de 10 maneiras distintas de modo que cada um fique com pelo menos uma maçã.

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão vamos utilizar o conceito de combinações completas.

Como são 9 maçãs para distribuir entre 3 pessoas A, B e C, de modo que cada um fique com, pelo menos duas maçãs temos o seguinte.

A + B + C = 9

Mas, para garantir que cada um tenha exatamente duas maçãs, que é o mínimo,

A' = A + 2

B' = B + 2

C' = C + 2

Sabendo que dessa forma já foram distribuídas 6 maçãs sobram apenas 3 obtendo a seguinte equação:

A' + B' + C' = 3

Da qual queremos apenas as soluções não negativas. Por exemplo:

. | . . | é a solução (1,2,0)

. . . | | é a solução (3,0,0)

. | . | . é a solução (1,1,1)

Repare que todas as soluções são formadas a partir da permutação entre os pontos e as barras, assim o total de soluções não negativas da equação é:

$P_5^{3,2}=C_{5,3}=\dfrac{5!}{3!\cdot 2!}=10$