Question

eu tenho um série que começa em 2 e vai até infinito de 1/n^ 2-1 e não consigo calcular a soma alguém pode me ajudar?​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Série Telescópica

Calcular a soma da série :

$\sf{ S~=~ }~ \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} \sf{ \dfrac{1}{n^2 - 1} }$

Perceba que a o denominador é uma diferença de quadrados: $\sf{ a^2 - b^2~=~ (a - b)(a + b) }$

Então :

$\sf{ S~=~ }~\displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} \sf{ \dfrac{1}{(n - 1)(n + 1)} }$

Por fracções parciais podemos ter que :

$\iff \sf{ \dfrac{1}{(n - 1)(n + 1)}~=~ \dfrac{A}{n - 1} + \dfrac{B}{n + 1} }$

Efectuado o mínimo múltiplo comum :

$\iff \sf{ \dfrac{1}{(n - 1)(n + 1)}~=~ \dfrac{A(n + 1) + B(n - 1) }{(n - 1)(n + 1)} }$

$\iff \sf{ An + A + Bn - B ~=~ 1 }$

$\iff \sf{ (A + B)n +\red{ ( A - B)} ~=~ \red{1} }$

$\begin{cases} \sf{ A - B ~=~ 1 } \\ \\ \sf{ A + B~=~ 0 } \end{cases}$

$~~~~~~~~~~~~ \sf{ 2A ~=~ 1 }$

$~~~~~~~~~~~~ \sf{ A~=~ \dfrac{1}{2} }$

$\begin{cases} \sf{ A~=~ \dfrac{1}{2} } \\ \\ \sf{ B~=~ -\dfrac{1}{2} } \end{cases}$

Então podemos reescrever a soma :

$\iff\sf{ S~=~ }~ \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} \sf{ \Big( \dfrac{1/2}{n - 1} - \dfrac{1/2}{n + 1} \Big) }$

$\iff \sf{ S~=~ }~\displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} \sf{\dfrac{1}{2}\Big( \dfrac{1}{n - 1} - \dfrac{1}{n + 1} \Big) ~=~ \dfrac{1}{2}}\displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} \sf{ \Big( \dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n + 1} \Big) }$

Vamos avaliar as somas parciais :

$\iff \sf{ S_{2}~=~ \Big( \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3} \Big) }$

$\iff \sf{ S_{3}~=~ \Big( 1 - \dfrac{1}{3}\Big) + \Big( \dfrac{1}{2} - \dfrac{ 1}{4}\Big) }$

$\iff \sf{ S_{4}~=~ \Big(1 - \dfrac{1}{3}\Big) + \Big( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\Big) + \Big( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} \Big) }$

$\iff \sf{ S_{5}~=~ \Big(1 - \dfrac{1}{3}\Big) + \Big( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\Big) + \Big( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} \Big) + \Big( \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} \Big) }$

$~~~~~~~~~~~~ \vdots$

$\iff \sf{ S_{n}~=~ \Big(1\red{\cancel{ - \dfrac{1}{3}}}\Big) + \Big( \dfrac{1}{2} \purple{\cancel{- \dfrac{1}{4}}}\Big) + \Big(\red{\cancel{ \dfrac{1}{3}}} \cancel{- \dfrac{1}{5}} \Big) + \Big(\purple{\cancel{ \dfrac{1}{4}} } \pink{\cancel{- \dfrac{1}{6}}} \Big) + \cancel{\cdots} + ( \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1} \Big) }$

$~~~~~ \iff \boxed{ \sf{ S_{n}~=~ 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} } }$

Sendo assim vamos fazer o limite de Sn quando o n se aproximar mais ao infinito :

$\displaystyle\lim_{n \to \infty } \sf{ S_{n} }~=~ \displaystyle\lim_{n \to \infty} \Big( \sf{ \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}} \Big)$

$\iff \boxed{\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sf{ \Big( \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\Big)~=~ \dfrac{3}{2} } }$

Então achado o valor do Somatório lembremos que ele estava sendo multiplicado por 1/2, então a soma S vai ser :

$\iff \sf{ S~=~ \dfrac{1}{2} * \dfrac{3}{2} }$

$\green{ \iff \boxed{ \boxed{ \sf{ S~=~ \dfrac{3}{4} } \sf{ \longleftarrow Resposta } } } }$

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Espero ter ajudado bastante!)

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