Question

Eu sei q o denominador de A + B eh o produto notável, mas e depois? O que eu faço?

Answer 1

$\dfrac{x-2}{x^{2}-1}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}$

Somando as frações (fazendo o m.m.c entre os denominadores):

$\dfrac{x-2}{x^{2}-1}=\dfrac{A(x+1)}{(x-1)(x+1)}+\dfrac{B(x-1)}{(x+1)(x-1)}\\\\\\\dfrac{x-2}{x^{2}-1}=\dfrac{Ax+A}{x^{2}-1}+\dfrac{Bx-B}{x^{2}-1}\\\\\\\dfrac{x-2}{x^{2}-1}=\dfrac{Ax+A+Bx-B}{x^{2}-1}$

Cancelando x² - 1:

$x-2=Ax+A+Bx-B\\x-2=Ax+Bx+A-B\\1x-2=(A+B)x+(A-B)$

Essa igualdade acontecerá quando:

$\begin{cases}A+B=1\\A-B=2\end{cases}$

Somando as equações (Encontrando A):

$A+A+B-B=1+2\\2A=3\\A=3/2$

Achando B:

$A+B=1~~~\therefore~~~B=1-A\\\\\\B=1-\dfrac{3}{2}=\dfrac{2-3}{2}=-\dfrac{1}{2}$

Logo, o produto AB vale:

$A\cdot B=\dfrac{3}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\\\\\\\boxed{\boxed{A\cdot B=-\dfrac{3}{4}}}$

Letra D