Question

Eu realmente não estou sabendo como resolver estas funções inversas.
Alguém me ajuda?

-Construa se existir as inversas das funções abaixo:
$a) f(x)=(7x-1) / 3$

$b) f(x)=x² +x$

Eu naverdade estou achando que para essas não existem só queria ver se estou correta. Obrigada e valendo a pontuação máxima...

Answer 1

Para existir a inversa a função deve ser bijetora, ou seja, não possuir 2 ou mais raízes para um mesmo valor e não sobrar no conjunto do contra-domínio.

Simplificando, pega o gráfico de cada função e trace retas paralelas ao eixo X, se essa reta encostar em mais de um ponto, ela não é bijetora e não possui inversa.

O gráfico da primeira função é uma reta, olhe na internet (gráfico da função do primeiro grau), se você passar várias retas paralelas ao eixo X, cada reta só irá encostar uma vez, logo ela possui inversa.
$f(x)= \frac{7x-1}{3} \\ x= \frac{7y-1}{3} \\ 3x=7y-1\\ 3x+1=7y\\ y= \frac{3x+1}{7} \\ f^{ -1}(x)=\frac{3x+1}{7}$

Porém a função do item B, não é uma função bijetora pois não é injetora.
Se você olhar o gráfico da função, ela irá formar uma parábola, e se você traçar várias retas ao eixo X, ela irá encostar em 2 pontos, logo não possui inversa.

Demonstração que não possui inversa:
$f(2)=2^2+2\\ f(2)=6\\\\ f(-2)=(-2)^2+2\\ f(-2)=6$

Com valores diferentes possui o mesmo valor no conjunto imagem.
Traçando uma reta paralela ao eixo X que pegue justamente no ponto 6 do eixo Y, ela será interceptada 2 vezes; no ponto (-2;6) e o (2;6).