Question

Eu preciso de toda a resolução e raciocínio usados pra responder isso,Obrigada:

Answer 1

Vamos começar pelo enunciado, dar uma breve revisada em soma de frações e aí resolveremos, ok?

Queremos expressar uma fração da forma $\frac{16x +18}{x^2 + x -6}$ como uma soma de duas outras frações de formas $\frac{A}{x - 2}$ e $\frac{B}{x + 3}$. Para isso, sabemos do enunciado que podemos usar qualquer valor pertencente aos números reais, excluindo os valores 2 e -3, por que? Porque se pudéssemos usar estes valores, estaríamos dividindo os numeradores das frações por 0 e em matemática não podemos dividir por 0 porque o resultado é indefinido. Como somamos frações ? Suponhamos que temos 2 frações da forma $\frac{X}{Y}$ e $\frac{W}{Z}$, para somá-las, o método mais fácil é geralmente multiplicar cada numerador pelo denominador da outra fração, de modo que, ao fazermos isto, teremos um denominador comum e poderemos somar os numeradores e formar uma única fração. Neste exemplo, ficaríamos com:
$\frac{X}{Y}$ + $\frac{Z}{W}$ = $\frac{WX + ZY}{YW}$. Agora podemos finalmente resolver o problema com nossos conhecimentos:
$\frac{16x + 18}{x^2 +x - 6}$ = $\frac{A}{x - 2}$ + $\frac{B}{x + 3}$
Então, usando nosso método de 'juntar' as duas frações, ficamos com:
$\frac{A(x+3) + B(x-2)}{(x - 2)(x+3)}$ = $\frac{16x +18}{x^2 +x -6}$
Fazemos a multiplicação distributiva e depois resolvemos o sistema para A e B:
$\frac{Ax + 3A + Bx -2B}{x^2 +x -6}$ = $\frac{16x + 18}{x^2 +x -6}$
Agora vamos usar uma propriedades de identidade de polinômios para comparar os coeficientes de cada variável, segue-se que devemos juntar cada parte que tem o mesmo grau de x:
(A+B)x + (3A - 2B) = 16x + 18
Perceba que o denominador 'sumiu' porque eu pulei um passo em que multipliquei dos dois lados por x² +x -6 (podemos fazer isso sempre) e portanto teríamos uma divisão $\frac{x^2 + x -16}{x^2 + x - 16}$ que dá 1, então cancelamos este termo e só sobra o numerador.
Voltando ao problema, usamos a identidade de polinômios para igualar cada coeficiente dos dois lados, assim:
$\left \{ {{A+B = 16} \atop {3A -2B = 18}} \right.$
Resolvemos isto isolando A e substituindo na equação, isto nos dá:
A = 16 - B
Substituindo na 2ª equação, temos:
3A -2B = 18
3(16-B) -2B = 18
48 -3B -2B = 18
48 -5B = 18
48 - 18 = 5B
B = 6
Como A = 16 - B
A = 16 - 6 
A = 10

Agora basta multiplicar A e B:
A*B = 10*6 = 60

Resposta: letra d.

Até mais!