Question

eu não tenho absolutamente a menor ideia de como fazer isso

Answer 1

Resposta:

48/5 u.c

Explicação passo-a-passo:

Analisando o triângulo ECB, o ângulo $E\hat{C}B$ é o complemento de $4\alpha$, logo $E\hat{C}B=90^\circ-4\alpha$. Da mesma forma, no caso do triângulo DCB, o ângulo $D\hat{C}B$ é o complemento de $2\alpha$, logo $D\hat{C}B=90^\circ-2\alpha$.

Com isso concluímos que o ângulo $D\hat{C}E$ do triângulo DCE é igual a:

$D\hat{C}E=D\hat{C}B-E\hat{C}B$

$D\hat{C}E=90^\circ-2\alpha-(90^\circ-4\alpha)$

$D\hat{C}E=2\alpha$

Como os ângulos opostos aos lados são iguais, concluímos que $CE=10$. Considerando $BE=x$ e $CB=y$, podemos aplicar o teorema de Pitágoras, concluindo que $x^2+y^2=10^2=100$.

Pegando agora o triângulo ABC, o ângulo $A\hat{C}B$ é o complemento de $\alpha$, logo $A\hat{C}B=90^\circ-\alpha$. Podemos então calcular o ângulo $A\hat{C}D$ da seguinte forma:

$A\hat{C}D=A\hat{C}B-D\hat{C}B$

$A\hat{C}D=90^\circ-\alpha-(90^\circ-2\alpha)$

$A\hat{C}D=\alpha$

Como os ângulos são iguais, os lados opostos a eles também o são. Aplicando novamente o teorema de Pitágoras, concluímos que:

$(x+10)^2+y^2=16^2=256$

Isolando $y^2$ em ambas as equações, achamos que:

$100-x^2=256-(x+10)^2$

$100-x^2=256-x^2-20x-100$

$20x=56$

$x=\frac{56}{20}=\frac{14}{5}\text{ u.c}$

Com isso podemos obter $y$:

$y^2+(\frac{14}{5})^2=100$

$y^2=100-\frac{196}{25}$

$y^2=\frac{2.304}{25}$

$y=\frac{48}{5}\text{ u.c}$