Question

Eu não estou conseguindo fazer essa questão... Vocês podem me ajudar? (se possível coloque passo à passo) 4sen²x+4senx-3=0

Answer 1

Olá Alana!

 Se tiveres alguma dificuldade com o desenvolvimento, considere sen x como uma variável qualquer, depois substitua...

$\\ 4 \cdot \sin^2 x + 4 \cdot \sin x - 3 = 0 \\ 4 \cdot \sin^2 x + 6 \cdot \sin x - 2 \cdot \sin x - 3 = 0 \\ 2 \cdot \sin x (2 \sin x + 3) - 1 (2 \cdot \sin x + 3) = 0 \\ (2 \cdot \sin x + 3)[2 \cdot \sin x - 1] = 0$

 Anulando cada fator,

Raiz I:

$\\ (2 \cdot \sin x + 3) = 0 \\ 2 \cdot \sin x = - 3 \\ \sin x = - 1,5$

 Mas, $- 1 \leq \sin x \leq 1$. Daí, essa raiz não existe!

Raiz II:

$\\ 2 \cdot \sin x - 1 = 0 \\\sin x = 0,5 \\ x = \sin^{- 1} 0,5 \Leftrightarrow x = \arctan 0,5 \\ x = 30^o$

 Bom! vale destacar que 30º não é a única resposta, mas sim todos aqueles ângulos cujo seno resulte seja (+ 0,5). Sabemos que tais ângulos pertencem ao 1º e 2º quadrantes. No segundo quadrante, temos como resposta o 150º.

 Desse modo, a resposta procurada é:

$\boxed{S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \ \ \text{ou} \ \ x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \right \}}$ 

Em que $k \in \mathbb{Z}$.