Question

Eu gostaria de saber porque √32 vale 4√2 ???

Answer 1

Quando não temos a raiz de um número exato,como 4,16 ou 25,devemos fatorar.
32\2=16
16\2=8
8\2=4
4\2=2
2\2=1
Logo,vemos que o 2 se repete 5 vezes,e como é raiz quadrada,"pegamos" os números de 2 em 2,e como temos 2 pares de 2: 2.2V2 = 4V2

Answer 2

Isto é apenas questão de fatoração. Para fatorar um número, você vai dividindo-o pelos menores números primos possíveis e maiores que 1. Você só vai parar de dividir até que se chegue a resto 1.

Vamos fatorar o 32

32 | 2
16 | 2
  8 | 2
  4 | 2
  2 | 2
  1

Fatorando o 32 obtivemos 2*2*2*2*2.

Costumamos agrupar de dois em dois os que são semelhantes, ou seja, podemos pegar DOIS números 2 e representar da seguinte forma:

2*2 = 2²

Por isso vamos fazer com todos isso:

$\underbrace{2 \cdot 2}_{2^{2}} \cdot \underbrace{2 \cdot 2}_{2^{2}} \cdot 2$

Portanto, o 32 ficou 2²*2² restando um 2. Mas não podemos nos esquecer que este número está dentro da raiz:

$\sqrt{32} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2}$

Na fatoração, quando um número está elevado ao quadrado numa raiz quadrada, e multiplicando, ele sai da raiz multiplicando o termo de fora. Porque acontece isso? Simples: quanto é 2 elevado a 2? É 4. Raiz de 4 é 2, saindo da raiz.

Enfim, vamos tirar da raiz todos que estão elevados

$1\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2} \\\\ 2 \cdot 1 \sqrt{2^{2} \cdot 2} \\\\ 2\sqrt{2^{2} \cdot 2} \\\\ 2 \cdot 2 \sqrt{2} \\\\ \boxed{\boxed{4\sqrt{2}}}$

E o 2 que sobrou não dá pra fazer nada, já que não da raiz exata. Por isso raiz de 32 virou 4 raiz de 2. Por simples fatoração.