Question

Eu até consegui chegar na resposta mas queria saber se existe uma resolução mais dinâmica... a questão é a seguinte:

Se (ANEXO), então n é igual a:
a) 5 (Cheguei nesse resultado mas envolveu muitos cálculos + tentativa e erro)
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Se alguém conseguir ai e puder me dar uma força <3

Answer 1

$\binom{n}{3}+\binom{n}{4}=5(n-2)$

$\frac{n!}{3!\,(n-3)!}+\frac{n!}{4!\,(n-4)!}=5(n-2)$

$\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{3!\,(n-3)!}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)!}{4!\,(n-4)!}=5(n-2)$

$\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}=5(n-2)$

$\frac{n(n-1)(n-2)}{3!(n-2)}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!(n-2)}=5$

$\frac{n(n-1)}{3!}+\frac{n(n-1)(n-3)}{4!}=5$

$\frac{4n(n-1)}{4!}+\frac{n(n-1)(n-3)}{4!}=5$

$\frac{4n(n-1)+n(n-1)(n-3)}{4!}=5$

$4n(n-1)+n(n-1)(n-3)=5\cdot 4!$

$n(n-1)[4+(n-3)]=5!$

$(n+1)n(n-1)=5!$

Chegando aqui existem duas possibilidades de resolução: A 1º (que é a que recomendo) é realmente testar os valores. A 2º possibilidade (que é a que irá dar o valor exato mas é mais trabalhoso) é desenvolver o produto, ficando assim com a equação polinomial do 3º grau $n^3-n-5!=0$.

Para resolver esta equação, podemos usar o teorema das raízes racionais, ou seja, se existe um $n$ racional que resolva a equação acima, então o seu numerador deve dividir $-5!$ e o seu denominador deve dividir 1. Simplificando, se existe um $n$ racional, ele deve dividir $-5!$. testando os valores, achamos que $n=5$.

Por fim, a última possibilidade é usar a fórmula de Cardano (uma fórmula não muito conhecida para resolução de equação cúbicas). Ela diz que, se $x^3+px+q=0$, então:

$x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2} \right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2} \right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}$

Aplicando essa fórmula em $n^3-n-5!=0$, ficamos com:

$n=\sqrt[3]{60+\sqrt{\left(60 \right)^2-\left(\frac{1}{3}\right)^3}}+\sqrt[3]{60-\sqrt{\left(60\right)^2-\left(\frac{1}{3}\right)^3}}$

Que, desenvolvendo, nos dá a solução $n=5$. Na minha opinião, como conseguimos reduzir a equação original para $(n+1)n(n-1)=5!$ e sabemos que $n>4$, é mais simples testar os valores acima de 4 do que aplicar métodos de resolução de equações polinomiais.