Question

etermine a equação da reta s que passa pelo ponto P (1,5) e é paralela a reta r: x + y + 2 = 0.

Answer 1

✅ Duas retas são paralelas entre si quando ambas possuírem o mesmo coeficiente angular.

Se nos foi dado a equação geral da reta "r" que é:

          $\large\displaystyle\begin{gathered}r: x + y + 2 = 0 \end{gathered}$

E, também o ponto "P" que é:

         $\large\displaystyle\begin{gathered}P(1, 5)\:\:|\:\:P\in s\:\parallel \:r \end{gathered}$

Pra encontrar a equação da reta "s" paralela à reta "r" passando pelo ponto "P", devemos:

• Obter a equação reduzida da reta "r";

              $\large\displaystyle\begin{gathered}x + y + 2 = 0 \end{gathered}$

                            $\large\displaystyle\begin{gathered}y = -x - 2 \end{gathered}$

            $\large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:r: y = -x - 2 \end{gathered}$

• Recuperar o coeficiente angular "mr" da reta "r", a partir de sua equação reduzida;

        Sabendo que podemos escrever a equação reduzida da reta sob a forma:

                     $\large\displaystyle\begin{gathered}y = mx + n \end{gathered}$

       Onde:

        $\large\begin{cases}m = Coeficiente\:angular\\n = Coeficiente\:linear\end{cases}$

       Então:

                       $\large\displaystyle\begin{gathered}m_{r} = -1 \end{gathered}$

• Obter o coeficiente angular da reta "s";

          $\large\displaystyle\begin{gathered}r\parallel s \:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:m_{r} = m_{s} \end{gathered}$

                     $\large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:m_{s} = -1 \end{gathered}$

• Montar a equação reduzida da reta "s" paralela à reta "r" passando pelo ponto "P". Neste momento devemos utilizar a fórmula do "ponto declividade", ou seja:

                      $\large\displaystyle\begin{gathered}Y - Y_{P} = m_{s}\cdot(X - X_{P} ) \end{gathered}$

        Substituindo as coordenadas do ponto "P", bem como o valor do coeficiente angular "ms" de "s", nesta equação, teremos:

                      $\large\displaystyle\begin{gathered}y - 5 = -1\cdot(x - 1) \end{gathered}$

                      $\large\displaystyle\begin{gathered}y - 5 = -x + 1 \end{gathered}$

                             $\large\displaystyle\begin{gathered}y = -x + 1 + 5 \end{gathered}$

                             $\large\displaystyle\begin{gathered}y = -x + 6 \end{gathered}$

                $\large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:s: y = -x + 6 \end{gathered}$

• Se quiser, também podemos encontrar a equação geral da reta "s" a partir de sua equação reduzida. Para isso fazemos:

                             $\large\displaystyle\begin{gathered}y = -x + 6 \end{gathered}$

              $\large\displaystyle\begin{gathered}x + y - 6 = 0 \end{gathered}$

              $\large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:s: x + y - 6 = 0 \end{gathered}$

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Solução gráfica: