Question

ETAPA V: TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Uma empresa precisa realizar a simulação de um sistema tridimensional em um software bidimensional. Para isso, utilizou a seguinte transformação linear para realizar o procedimento:

T (x,y,z) = (x+z,y+z)

1) Qual a transformação de T(1,1,1)?

2) Qual o núcleo da transformação?

3) Se a transformação fosse T(x,y,z) = (z,y,x), quais seriam os autovalores e auto vetores relativos à transformação?

Answer 1

Resposta:

As soluções são:

1) T(1,1,1) = (2,2)

2) N(T) = {x∈R | (x, x, -x)} e cuja base é o vetor v = (1,1,-1)

3) Os auto valores são -1 e 1 e seus respectivos auto vetores são v = (t, 0, -t), t∈R e v = (t, k, t), k, t∈R.

Explicação passo a passo:

1) Qual a transformação de T(1,1,1)?

Como a transformação é dada por T(x,y,z) = (x+z, y+z) substituindo os respectivos valores de x, y e z obtemos a transformação de T(1,1,1).

T(1,1,1) = (1+1, 1+1)

T(1,1,1) = (2,2)

2) Qual o núcleo da transformação?

O núcleo de uma transformação é definido como N(T) = {u∈U | T(u) = 0}, isto é, o conjunto dos vetores que possuem imagem nula.

Como T(x,y,z) = (x+z, y+z) temos:

x + z = 0     (I)

y + z = 0     (II)

Subtraindo (II) de (I)

x - y = 0 ⇒ y = x e z = - x

Logo o núcleo da transformação é dado por:

N(T) = {x∈R | (x, x, -x)} e cuja base é o vetor v = (1,1,-1) e possui dimensão 1.

3) Se a transformação fosse T(x,y,z) = (z,y,x), quais seriam os autovalores e auto vetores relativos à transformação?

Um número real λ é um auto valor se:

T(v) = λ . v, onde v é um vetor não nulo.

Portanto, temos:

T(x,y,z) = λ . (x,y,z)

(z,y,x) = λ . (x,y,z)

λx = z ⇒ λx - z = 0

λy = y ⇒ (λ - 1).y = 0

λz = x ⇒ -x + λz = 0

Como o sistema formado é homogêneo e queremos soluções diferentes da trivial o determinante dos coeficientes deve ser nulo.

$\begin{vmatrix}\lambda & 0&-1\\0&\lambda -1&0\\-1&0&\lambda\end{vmatrix}=0\\\\\lambda^2\cdot (\lambda -1)-(\lambda -1)=0\\\\(\lambda-1)\cdot (\lambda^2-1)=0\\\\\lambda'= -1 \ e \ \lambda''=1$

logo, -1 e 1 são auto valores da transformação.

Para determinar os auto vetores basta substituir os auto valores no sistema e resolver.

• Para λ = -1

x - z = 0

0.y = 0 ⇒ y qualquer real

- x - z =0 ⇒ z = - x

Assim o auto vetor associado é v = (t, 0, -t), t∈R.

• Para λ = 1

x - z = 0

0.y = 0 ⇒ y qualquer número real

- x + z =0 ⇒ z = x

Assim o auto vetor associado é v = (t, k, t), k, t∈R.