Question

ETAPA 3

3.a. Considere que, inicialmente, o tanque de cloração contenha 100 litros do efluente tratado com 3 kg de cloro. Suponha que uma torneira permita a entrada de mais efluente tratado clorado a uma taxa de 2 L/min, com 1/20 kg de cloro por litro, e que a água clorada saia ao fundo do tanque nesta mesma taxa, para utilização na lavagem do jeans. Com base nestas informações, determine qual é a quantidade de cloro no tanque em qualquer instante t.​

Answer 1

Resposta: $Q(t) = 5 - e^{-\frac{t}{50}}$

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A questão traz o uso de funções para representar situações-problemas por meio da modelagem matemática.

Seja Q₀ a quantidade inicial de cloro no tanque. Como informado, Q₀ = 3 kg. Seja, também, Q(t) a quantidade de cloro em um instante t (em minutos).

Dado pelo enunciado, uma torneira permite a entrada de mais efluente tratado clorado a uma taxa de 2 L/min, com 1/20 kg de cloro por litro. Logo, usando do conceito de derivadas:

$\frac{dQ}{dt} =\frac{2\text{l}\cdot0,05 \text{Kg}}{\text{l}/\text{min}} -Q\frac{2}{100} \text{l}/\text{min}$

Simplificando:

$\frac{dQ}{dt} =0,1 -Q\frac{1}{50}$

Isolando dt:

$dt=\frac{50}{5-Q}\cdot dQ$

Integrando ambos os lados:

$\int dt=\int\frac{50}{5-Q}\cdot dQ$

$t+c_{1} = 50 \cdot\int\frac{dQ}{5-Q}$

$t + c_{1}= -50 \cdot\ln(5-Q)$

$\ln(5-Q)=-\frac{t}{50} -\frac{c_{1}}{50}$

Usando que c₂ = -c₁/50:

$\ln(5-Q)=-\frac{t}{50} +c_{2}$

Aplicando o exponencial de base e em ambos os lados:

$5-Q=e^{-\frac{t}{50} +c_{2}}$

Usando que k = $e^{c_{2}$:

$5-Q=ke^{-\frac{t}{50} }$

Isolando Q:

$Q=5 - ke^{-\frac{t}{50} }$

Agora, basta usar o valor inicial dado. Lembre-se que quando t = 0, Q₀ = 3 kg. Assim:

$3=5 - ke^{-\frac{0}{50} }$

$3=5 - ke^{0 }$

$3=5 - k$

$k=2$

Finalmente,

$Q(t) = 5 - e^{-\frac{t}{50}}$

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Bons estudos!!