Question

Estudos realizados em um município mostraram que o desmatamento do cerrado cresce assustadoramente. A cada dia são desmatados 4ha (hectares) a mais que a área desnatada no dia anterior.<br />
No primeiro dia de determinado mês foram desmatados 50ha nesse município.<br />
a) Quantos hectares foram desmatados no 20° dia desse mês?<br />
b) Quantos hectares foram desmatados nos 20 primeiros dias desse mês?

Answer 1

a) 126 hectares.

b) 1760 hectares.

Os hectares desmatados do primeiro ao vigésimo dia foram: 50, 54, 58, 62, 66, 70, 74, 78, 82, 86, 90, 94, 98, 102, 106, 110, 114, 118, 122 e 126. O resultado da soma é 1760.

Como se trata de uma progressão aritmética, podemos utilizar as fórmulas abaixo:

an = a1 + (n - 1) . r

a20 = 50 + (20 - 1) . 4
a20 = 50 + 80 - 4
a20 = 130 - 4
a20 = 126. Ou seja, o vigésimo termo dessa progressão aritmética é 126 hectares.

Sn = n (a1 + an) / 2

S20 = 20 (50 + 126) / 2
S20 = 1000 + 2520 / 2
S20 = 3520 / 2
S20 = 1760. Ou seja, a soma dos 20 termos dessa progressão aritmética é 1760 hectares.

Answer 2

(a) Foram desmatados 126 hectares no vigésimo dia.

(b) Foram desmatados 1760 hectares após o vigésimo dia.

Esta questão está relacionada com progressão aritmética. A progressão aritmética é uma sequência de números com uma razão somada a cada termo. Desse modo, a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença é conhecida como razão.

Nesse caso, o desmatamento pode ser explicado por uma progressão aritmética, onde o primeiro termo é igual a 50 e a razão é igual a 4. Dessa maneira, formamos a seguinte expressão:

$a_n=50+4(n-1)$

Com isso em mente, podemos calcular a área desmatada no 20º dia, onde temos n=20. Assim:

$a_{20}=50+4\times (20-1)=126 \ ha$

Para determinar a área total desmatada após 20 dias, vamos aplicar a equação da soma de n termos de um PA. Portanto:

$S_{20}=\dfrac{(50+126)\times 20}{2}=1760$