Question

estudo de sinal da funcao y=x ao quadrado -4

Answer 1

Primeiro vamos calcular o discriminante Δ da função:

$\begin{array}{l}\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\\mathsf{\Delta=0^2-4\cdot1\cdot(-4)}\\\\\mathsf{\Delta=0-(-16)}\\\\\mathsf{\Delta=16}\end{array}$

Como o discriminante Δ é positivo, a função f(x) = x² - 4 possui duas raízes reais e distintas.

Temos que descobrir quais são as raízes antes de fazer o estudo do sinal.

Para isso igualamos f(x) a zero e resolvemos.

$\begin{array}{l}\mathsf{x^2-4=0}\\\\\mathsf{x^2=4}\\\\\mathsf{\sqrt{x^2}=\sqrt{4}}\\\\\mathsf{|x|=2}\\\\\mathsf{x=\pm2}\\\\\\\mathsf{Raizes:}\begin{Bmatrix}\mathsf{x_1=-2}\\\\\hspace{-5}\mathsf{x_2=2}\end.\end{array}$

Podemos analisar o  sinal dessa função da seguinte forma:

*Lembre-se que toda função quadrática é do tipo ax² + bx + c, com a ≠ 0.

1) Se x é menor que x_1, então f(x) tem o sinal de a.

2) Se x pertence a um intervalo entre x_1 e x_2, isto é, x_1 < x < x_2, então f(x) tem o sinal de -a.

3) Se x é maior que x_2, então f(x) tem o sinal de a.

Essa analise é valida sempre que o discriminante for positivo, isto é, Δ > 0.

Fazendo o estudo do sinal

$\huge\begin{array}{l}\mathsf{f(x)~~~~\underline{+++}\underset{\hspace{-8}-2}\bullet^{\hspace{-8}^0}\underline{---}\underset{2}\bullet^{\hspace{-8}^0}\underline{+++}_{\blacktriangleright x}}\end{array}$

Sendo assim:

f(x) > 0 ⇒ x < -2 ou x > 2.

f(x) = 0 ⇒ x = -2 ou x = 2.

f(x) < 0 ⇒ -2 < x < 2.

*Você pode entender f(x) como y.

Gráfico da função em anexo.