Question

estude (un) quanto à monotonia
un=
$\frac{6n + 5}{2n}$
​

Answer 1

Resposta: $\boldsymbol{u_n=\frac{6n+5}{2n}}$ é monótona decrescente.

 

Vamos lá. Pelo estudo de sucessões monótonas, sabe-se que:

 

$\text{ u_{n+1}-u_n > 0\implies\rm u_n~\acute{e} mon \rm\acute{o} tona crescente.}$

$\text{ u_{n+1}-u_n = 0\implies\rm u_n~\acute{e} mon \rm\acute{o} tona constante.}$

$\text{ u_{n+1}-u_n < 0\implies\rm u_n~\acute{e} mon \rm\acute{o} tona decrescente.}$

 

Então, dado a seguinte sucessão:

 

$u_n=\dfrac{6n+5}{2n}$

 

Segue que:

 

$u_{n+1}=\dfrac{6(n+1)+5}{2(n+1)}=\dfrac{6n+6+5}{2n+2}=\dfrac{6n+11}{2n+2}$

$\therefore$

$\begin{array}{l}u_{n+1}-u_n=\dfrac{6n+11}{2n+2}-\dfrac{6n+5}{2n}\\\\u_{n+1}-u_n=\dfrac{n(6n+11)}{2n(n+1)}-\dfrac{(n+1)(6n+5)}{2n(n+1)}\\\\u_{n+1}-u_n=\dfrac{6n^2+11n}{2n(n+1)}-\dfrac{6n^2+11n+5}{2n(n+1)}\\\\u_{n+1}-u_n=\dfrac{6n^2+11n-6n^2-11n-5}{2n(n+1)}\\\\u_{n+1}-u_n=-\dfrac{5}{2n(n+1)}\end{array}$

 

Analisando apenas o seu denominador, vemos que, obrigatoriamente, $2n(n + 1) > 0$ para todo n pertencente aos naturais com n ≠ 0. Todavia, como - 5 está sendo dividido por 2n(n + 1), então $-\frac{5}{2n(n + 1)} < 0$ para todo n pertencente aos naturais com n ≠ 0.

 

Portanto, a sucessão é monótona decrescente.