Question

Estude os sinais das seguintes funções:
a) f(x) = x²-3x-10
b) f(x) = -x²+2x
c) f(x) = -4x²+4x-1
d) f(x) = x²-x+10
e) f(x) = x²+6x+9
f) f(x) = -4x²+3x-6
g) f(x) = x²-18
h) f(x) = x²+4

Answer 1

Resposta:

ta ai:

Explicação passo-a-passo:

a) x²-3x-10 = 0

x= (-b±√b²-4ac) ÷ 2a

x1= 5

x2= -2

y>0 para x<-2 ou x>5

y=0 para x=-2 ou x=-5

y<0 para -2<x<5

b) -x²+2x=0

x(-x+2) = 0

x1= 0

x2= 2

y>0 para 0<x<2

y=0 para x=0 ou x=2

y<0 para x<0 ou x>2

c) -4x²+4x-1=0

x= (-b±√b²-4ac) ÷ 2a

x= 1/2

(só há uma raiz pois o Δ=0)

y<0 para x≠1/2

y=0 para x=1/2

d)  x²-x+10=0

x= (-b±√b²-4ac) ÷ 2a

Δ<0 então não há um x

ja que a>0 então:

y>0 para x ∈ R

e) x²+6x+9

x= (-b±√b²-4ac) ÷ 2a

x= -3

y> 0 para x≠-3

y=0 para x=-3

f) -4x²+3x-6=0

x= (-b±√b²-4ac) ÷ 2a

Δ<0 então não há um x

ja que a<0 temos:

y<0 para x ∈ R

g) x²-18=0

x²=18

x≅4,2

ja que a>0 temos:

y>0 para x≠4,2

y=0 para x=4,2

h) x²+4=0

x=-2

ja que a>0 temos:

y>0 para x≠-2

y=0 para x=-2

Answer 2

Com o estudo do sinal de uma função do 2° grau conseguimos analisar cada alternativa que se encontra logo abaixo.

Estudo do sinal de uma função

Estudar o sinal da função f(x) = -x² - 6x + 7. Essa é uma função polinomial do 2° grau. Então, o seu gráfico será uma parábola com concavidade voltada para baixo(a= -1 <0). Sendo assim:

O gráfico, em anexo, mostra que a função é nula quando x = - 7 ou x = 1. É importante perceber que essas são raízes da função. Ela é positiva(está acima do eixo das abscissas) quando -7<x<1, e é negativa(está abaixo das abscissas)quando x<-7 ou x>1.

Essas conclusões permitem escrever o estudo do sinal dessa função:

• f(x) > 0 quando -7<x<1;
• f(x)=0 quando x=-7 ou x=1;
• f(x)<0 quando x<-7 ou x>1.

a)

$f\left(x\right)\: = \:0:x^2-3x-10 =0$

• $x_{1,\:2}=\frac{-\left(-3\right)\pm \sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot \:1\cdot \left(-10\right)}}{2\cdot \:1}$

• $x_{1,\:2}=\frac{-\left(-3\right)\pm \:7}{2\cdot \:1}$

• $x_1=\frac{-\left(-3\right)+7}{2\cdot \:1},\:x_2=\frac{-\left(-3\right)-7}{2\cdot \:1}$

• $x=5,\:x=-2$

$f\left(x\right) > 0:x^2-3x-10 > \:0$

• $\left(x+2\right)\left(x-5\right) > 0$

• $\begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:x < -2\quad \mathrm{or}\quad \:x > 5\:\\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:-2\right)\cup \left(5,\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

$f\left(x\right) < 0:x^2-3x-10 < \:0$

• $\left(x+2\right)\left(x-5\right) < 0$

• $\begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:-2 < x < 5\:\\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-2,\:5\right)\end{bmatrix}$

b)

$f\left(x\right)\:=0:\:-x^2+2x=0$

• $-x^2+2x=0\quad :\quad x=0,\:x=2$

$f\left(x\right) > 0:\:-x^2+2x > 0$

• $-x^2+2x > 0\quad :\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:0 < x < 2\:\\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(0,\:2\right)\end{bmatrix}$

$f\left(x\right) < 0:-x^2+2x < \:0$

• $\begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:x < 0\quad \mathrm{or}\quad \:x > 2\:\\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:0\right)\cup \left(2,\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

c)

$f\left(x\right)=0:-4\cdot \:\:x^2+4\cdot \:\:x-1=\:0$

• $x=\frac{1}{2}$

$f\left(x\right) > 0:-4x^2+4x-1 > \:0$

• $-\left(2x-1\right)^2 > 0$

• $\left(-\left(2x-1\right)^2\right)\left(-1\right) < 0\cdot \left(-1\right)$

• $\left(2x-1\right)^2 < 0$

• $\mathrm{Se\:n\:e\:par,\:}u^n\:\ge \:0\:\mathrm{\:para\:todo}\:u$

• $\mathrm{Sem\:solucao\:para}\:x\in \mathbb{R}$

$f\left(x\right) < 0:-4x^2+4x-1 < \:0$

• $-\left(2x-1\right)^2 < 0$

• $\left(-\left(2x-1\right)^2\right)\left(-1\right) > 0\cdot \left(-1\right)$

• $\left(2x-1\right)^2 > 0$

• $\mathrm{Para\:}u^n\: > \:0\mathrm{,\:se\:}n\:\mathrm{e\:par}\mathrm{\:entao\:}u\: < \:0\quad \mathrm{or}\quad \:u\: > \:0$

• $\begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:x < \frac{1}{2}\quad \mathrm{or}\quad \:x > \frac{1}{2}\:\\ \:\mathrm{Decimal:}&\:x < 0.5\quad \mathrm{or}\quad \:x > 0.5\\ \mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2},\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

d)

• $x^2-x+10 > 0\quad :\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:\mathrm{Verdadeiro\:para\:todo\:}x\:\\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

• $x^2-x+10 < 0\quad :\quad \mathrm{Sem\:solucao}$

• $x^2-x+10=0\quad :\quad x=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{39}}{2},\:x=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{39}}{2}$

e)

• $x^2+6x+9 > 0\quad :\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:x < -3\quad \mathrm{or}\quad \:x > -3\:\\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:-3\right)\cup \left(-3,\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

• $x^2+6x+9 < 0\quad :\quad \mathrm{Sem\:solucao}$

• $x^2+6x+9=0\quad :\quad x=-3$

g)

• $x^2-18 > 0\quad :\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:x < -3\sqrt{2}\quad \mathrm{or}\quad \:x > 3\sqrt{2}\:\\ \:\mathrm{Decimal:}&\:x < -4.24264\dots \quad \mathrm{or}\quad \:x > 4.24264\dots \\ \mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:-3\sqrt{2}\right)\cup \left(3\sqrt{2},\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

• $x^2-18 < 0\quad :\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:-3\sqrt{2} < x < 3\sqrt{2}\:\\ \:\mathrm{Decimal:}&\:-4.24264\dots < x < 4.24264\dots \\ \mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-3\sqrt{2},\:3\sqrt{2}\right)\end{bmatrix}$
• $x^2-18=0\quad :\quad x=3\sqrt{2},\:x=-3\sqrt{2}\quad \left(\mathrm{Decimal}:\quad x=4.24264\dots ,\:x=-4.24264\dots \right)$

h)

• $x^2+4 > 0\quad :\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:\mathrm{Verdadeiro\:para\:todo\:}x\:\\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

• $x^2+4 < 0\quad :\quad \mathrm{Sem\:solucao}$

• $x^2+4=0\quad :\quad x=2i,\:x=-2i$

Saiba mais sobre estudo do sinal:https://brainly.com.br/tarefa/49356742

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