Question

Estude o sinal das seguintes funções quadráticas
a) f(x) = 2x² - 5x + 2
b) f(x) = -x² + 2x + 3
c) f(x) = x²- 100

Answer 1

Boa noite Marita!

Marista! A resolução desse exercício consiste em interpretar as raizes onde ela corta o eixo x em função do eixo y essas observações norteara a resposta em relação aos sinais.
Todas são resolvidas através do mesmo raciocínio.

Primeiro passo observar o coeficiente a da função para saber para onde a concavidade da mesma esta voltada e achar suas raízes.

Veja que no primeiro caso a>0=2,logo a concavidade é voltada para cima.

$A)~~f(x)= 2 x^{2} -5x+2$

$a=2$

$b=-5$

$c=2$
 
Conhecendo os coeficientes,vamos determinar suas raízes usando a formula de Bhaskara.

${\huge\*x= \frac{-b\pm \sqrt{b x^{2}-4.a.c } }{2} }$

Substituindos os coeficientes na equação encontramos as raizes.

${x=\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5) x^{2}-4.2.2 } }{2.2} }$

${\huge\*x= \frac{5\pm \sqrt{25-16 } }{2.2} }$

${x=\frac{5\pm \sqrt{9 } }{4} }$

${\huge\*x= \frac{5\pm 3 }{4} }$

${\huge\*x_{1} = \frac{5+3 }{4} }= \frac{8}{4}=2$

${\huge\* x_{2} = \frac{5- 3 }{4} }= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}$

$Resposta$

Analisando o sinal em função das raízes fica assim.

$y\ \textgreater \ 0 \Leftrightarrow x\ \textless \ 2 ~ou~ \frac{1}{2} x\ \textgreater$

$y\ \textless \ 0 \Leftrightarrow 2\ \textless \ x\ \textless \ \frac{1}{2}$


$B)~~f(x)= -x^{2}+2x+3$

Veja que o coeficiente a é negativo a<0=-1,então a concavidade é voltada para baixo.

$a=-1$

$b=2$

$c=3$

${\huge\*x= \frac{-(2)\pm \sqrt{(2)^{2}-4.-1.3 } }{2.-1} }$

${\huge\*x= \frac{-2\pm \sqrt{4+12 } }{-2}$

${\huge\*x= \frac{-2\pm \sqrt{16 } }{-2}$

${\huge\*x= \frac{-2\pm4}{-2}$

${\huge\* x_{1} = \frac{-2+4}{-2}= \frac{2}{-2}=-1$

${\huge\* x_{2} = \frac{-2-4}{-2}= \frac{-6}{-2}=3$

Analisando o sinal.

$Resposta$

$y\ \textgreater \ 0 \Leftrightarrow -1\ \textless \ x\ \textless \ 3$

$y\ \textless \ 0 \Leftrightarrow x\ \textless \ -1~ou~ x\ \textgreater \ 3$

$C)~~f(x)= x^{2} -100$

Como a equação é incompleta não precisa usar a formula de Bhaskara.

$f(x)= x^{2} -100$

O coeficiente a é positivo concavidade para cima.

$x^{2} =100$

$x= \sqrt{100}$

Raizes são:

$x_{1}=-10$

$x_{2} =10$

$Resposta$

$y\ \textgreater \ 0 \Leftrightarrow x\ \textless \ -10 ~ou~ x\ \textgreater \ 10$

$y\ \textless \ 0 \Leftrightarrow -10\ \textless \ x\ \textless \ 10$

Boa noite!
Bons estudos!