Question

estude o sinal da expressao $(2 x^{3} -6x )/(2-I6I)$



a expressao e simples mais o que ele quer dizer com estude ?

Answer 1

 Vamos lá.

Veja, Pedro, como você já informou que o módulo é apenas do "6" que está no denominador, então teremos a seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa.
Assim, teremos: pede-se a análise de sinais da seguinte expressão:

y = (2x³ - 6x)/(2 - |6|)

Agora veja: coimo o |6| = 6 (sempre), então basta retirar o módulo e passar a considerar a expressão da seguinte forma;

y = (2x³ - 6x)/(2 - 6)
y = (2x³ - 6x)/(-4) ---- vamos passar o sinal do (-4) para antes da expressão, ficando assim:

y = -(2x³ - 6x)/4 ---- ou, o que é a mesma coisa;
y = (-2x³ + 6x)/4 ---- simplificando-se numerador e denominador por "2", ficaremos apenas com:

y = (-x³ + 6x)/2 ------ agora vamos colocar "x" em evidência no numerador, com o que ficaremos assim:

y = x*(-x² + 6)/2

Note que ficamos com um produto no numerador, constituído por f(x) = x e por g(x) = - x² + 6, dividido por um denominador positivo, que é a função constante dada por h(x) = 2.

Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada função dada e depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais pedida.
Assim, teremos:

f(x) = x ----- raízes: x = 0
g(x) = -x²+3 ---> raízes: -x² + 3 = 0 ---> -x² = - 3 ---> x² = 3 ---> x' = -√3; x'' = √3.
h(x) = 2 ----> raízes: não há raízes, pois para todo valor de "x" a função será sempre positiva e igual a "2".

Agora vamos à variação de sinais em função das raízes:

a) f(x) = x ........ - - - - - - - - - - - - - - (0)+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = -x²+3 ...- - - - - (-√3)+ + + + + + + + + + (√3)- - - - - - - - - - - - - - - -
c) h(x) = 2 ........ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
d) a*b/c ...........+ + + + (-√3)- - - - - (0)+ + + + + (√3) - - - - - - - - - - - - - - - -

Agora vamos à variação de sinais, que será dada pelo item "d" acima, que nos dá  o resultado do produto de f(x) por g(x) dividido por h(x).
Assim, teremos:

y > 0, para valores de "x" nos seguintes intervalos: x < -√3, ou  0 < x < √3
y = 0, para: x = -√3 ou x = √3.
y < 0, para valores de "x' nos seguintes intervalos: -√3 < x < 0, ou x > √3.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.