Question

Estude o sinais das seguinte funções
(A) f(x) = x +4
(B) f(x) = -3x²+2x - 4

Answer 1

Vamos lá.

Antoniomax, veja que a resolução é simples.
Nesta questão são pedidos os estudos de sinais de duas equações, sendo uma do 1º grau e outra do segundo grau.
Você já viu, em uma outra mensagem sua, como é a forma do estudo de sinais de uma equação do 1º grau, da forma f(x) = ax + b.
Falta informar como é o estudo de sinais de uma equação do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, com raízes iguais a x' e x''.
Então vamos informar como é o estudo de sinais de uma equação do 2º grau, da forma:
f(x) = ax² + bx + c, com raízes iguais a x' e x''.

i) A função f(x) terá o mesmo sinal do termo "a" para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes), ou seja, para x < x' ou x > x''.
ii) A função f(x) será igual a "0" para valores de "x' iguais às raízes, ou seja, para x = x' ou para x = x''.
iii) A função f(x) terá sinal contrário ao sinal do termo "a" para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), ou seja, para x' < x < x''.
iv) A função terá o mesmo sinal do termo "a" para funções do 2º grau que NÃO tenham raízes reais. Ou seja: se o termo "a" for negativo, então a função será sempre negativa para qualquer valor de "x"; e se o termo "a" for positivo, então a função será sempre positiva para qualquer valor de "x".

Bem visto isso, então vamos estudar os sinais das funções da sua questão.

a) f(x) = x + 4 ---- para encontrar a raiz vamos igualar f(x) a "0", ficando assim:
x + 4 = 0
x = - 4

Então a função f(x) = x + 4 (veja que o termo "a" é positivo e a função é do 1º grau, que você já viu como ocorre em uma outra mensagem sua):

f(x) = x + 4 ... - - - - - - - - - - - (-4) + + + + + + + + + + + +

Assim, pelo gráfico acima, você já concluirá que:

→ f(x) < 0, para valores de "x" menores que a raiz, ou seja, para x < -4
→ f(x) = 0, para valores de "x" iguais à raiz, ou seja, para x = - 4
→ f(x) > 0, para valores de "x" maiores que a raiz, ou seja, para x > -4.


b) f(x) = - 3x² + 2x - 4

Vamos logo calcular o valor do Δ = b² - 4ac, para saber se  ele é positivo ou negativo, pois se ele for negativo, então a função NÃO terá raízes reais e, assim, a função f(x) teria o mesmo sinal do termo "a" (o termo "a" em equações do 2º grau é o coeficiente de x²). Vamos ver qual é o valor do delta:

Δ = b² - 4ac ----- fazendo as devidas substituições, teremos;
Δ = 2² - 4*(-3)*(-4) ----- como (-3)*(-4) = 12, teremos:
Δ = 4 - 4*(12)
Δ = 4 - 48
Δ = - 44 <--- Veja: o delta da equação f(x) = - 3x² + 2x - 4 é negativo. E, assim, a função NÃO tem raízes reais. Note que, como o termo "a" é negativo, então a função será sempre negativa para qualquer valor de "x", ou seja, teremos isto (vide o que se informou no item "iv" acima):

f(x) = - 3x² + 2x - 4 .. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 Assim, como você viu, pelo fato de a função do 2º grau da sua questão NÃO ter raízes reais, então a função será SEMPRE negativa (pois o termo "a" é negativo) para qualquer valor de "x", ou seja, teremos isto:

→ f(x) < 0  para qualquer valor de "x".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.