Question

Estude a convergência ou divergência da sequencia $a_{n= \frac{ 5n^{2} +1}{ 2n^{2}+3n-7 } }$ ,
aplicando a regra de L´ Hospital, se necessario, em seguida marque a alternativa correta;

a) A sequencia é divergente.

b) A sequencia converge para 11/2

c) A sequencia converge para 15/2

d) A sequencia converge para 5/7

e) A sequencia converge para 5/2

questão original em anexo

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Joaodedera, que a resolução também é simples, a exemplo da sua outra questão sobre este mesmo assunto.
Vamos encontrar o limite da expressão dada, quando "n" tender a "∞". Assim teremos:

lim [(5n²+1)/(2n²+3n-7)
n-->∞

Note: se formos aplicar infinito diretamente, iremos encontrar algo como "∞/∞", o que é uma indeterminação. Então vamos aplicar, independentemente, a derivada do numerador e do denominador, até que a indeterminação seja levantada.

i) Aplicando a primeira derivada, ficaremos com:

lim [(5n²+1)/[(2n²+3n-7) = (10n)/(4n+3) 
n-->∞

Veja que se substituirmos o "n" por "∞" em (10n)/(4n+3) ainda vamos encontrar a mesma indeterminação. Então derivaremos novamente, ficando (veja que a derivada de 10n = 10; e a derivada de "4n+3 = 4):

lim (10n)/(4n+3) = 10/4 = 5/2 <--- Pronto (após simplificarmos tudo por "2").
n-->∞

Assim, a sequência dada converge para 5/2 <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.