Question

estude a convergencia ou divergencia da sequencia an=(5n^2+1)/(2n^2+3n-7) aplicando a regra de L'Hospital, se necessário.

Answer 1

Utilizaremos o seguinte teorema:

Seja $f$ uma função real. Se $a_{n}$ é uma sequência numérica tal que $f(n)=a_{n}~\forall~n\ge1$ e

$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\ell\in\mathbb{R}$

então $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=\ell$
____________________________________

Definindo a função real $f(x)=\dfrac{5x^{2}+1}{2x^{2}+3x-7}$ e avaliando seu limite quando $x\to\infty$:

$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{5x^{2}+1}{2x^{2}+3x-7}$

Não usarei a regra de L'Hospital pois não é preciso. Dividindo o numerador e o denominador por x²:

$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{5+\frac{1}{x^{2}}}{2+\frac{2}{x}-\frac{7}{x^{2}}}$

Quando $x\to\infty$ temos que $\frac{k}{x},~\frac{k}{x^{2}}\to0$ (k é uma constante real qualquer). Daí:

$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\dfrac{5+0}{2+0-0}\\\\\\\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\dfrac{5}{2}$

Portanto, pelo teorema apresentado,

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=\dfrac{5}{2}}}$

Logo, a sequência converge e seu limite é $\frac{5}{2}$.