Question

(ESTRUTURAS ALGÉBRICAS) Prove que o conjunto Z dotado da lei usual de adição e da multiplicação definida por
a . b = 0, para quaisquer a e b em Z, é um anel.

Answer 1

Queremos mostrar que o conjunto dos números inteiros munido da adição usual e da multiplicação definida por $\mathsf{a\cdot b=0\;\forall\,a,b\in\mathbb{Z}}$ é um anel.

O que é um anel?

Seja A um conjunto não vazio munido de duas operações binárias internas + e $\cdot$, chamadas, respectivamente, de adição e multiplicação. A terna $\mathsf{(A, +, \cdot)}$ será um anel se:

1. $\mathsf{(a+b)+c=a+(b+c),\,\forall\,a,b,c\in A};$
2. $\mathsf{a+b=b+a,\,\forall\,a,b\in A}$
3. $\mathsf{\exists\, 0\in A}$ tal que $\mathsf{a+0=0+a=a,\,\forall\, a \in A}$
4. $\mathsf{\exists\, -a\in A}$ tal que $\mathsf{-a+a=a+(-a)=0, \forall\, a\in A}$
5. $\mathsf{(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c),\,\forall\,a,b,c\in A}$
6. $\mathsf{a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$ e $\mathsf{(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a,\,\forall\,a,b,c\in A}$

Observação: Para simplificar, o elemento $\mathsf{a\cdot b}$ será indicado também por $\mathsf{ab}.$

Dessa maneira, precisamos mostrar que o conjunto dos números inteiros munido da adição usual e da multiplicação definida por ab=0 possui essas seis propriedades. De fato, sejam $\mathsf{a,b,c\in\mathbb{Z}},$ temos:

1. $\mathsf{(a+b)+c=a+(b+c), \forall\,a,b,c\in \mathbb{Z}}$
2. $\mathsf{a+b=b+a,\,\forall\,a,b\in\mathbb{Z}}$
3. $\mathsf{\exists\, 0\in \mathbb{Z}}$ tal que $\mathsf{a+0=0+a=a,\,\forall\, a \in \mathbb{Z}}$
4. $\mathsf{\exists\, -a\in A}$ tal que $\mathsf{-a+a=a+(-a)=0, \forall\, a\in A}$
5. $\mathsf{(a\cdot b) \cdot c= 0 \cdot c=0}$ e $\mathsf{a\cdot( b\cdot c)= a \cdot 0=0.}$Portanto, $\mathsf{(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c),\forall\,a,b,c\in \mathbb{Z}}$
6. $\mathsf{a\cdot\underbrace{(b+c)}_{\in\mathbb{Z}}=0}$ e $\mathsf{ab+ac= 0+0=0}$

Logo, $\mathsf{a(b+c)=ab+ac,\,\forall\,a,b,c\in\mathbb{Z}}$

De modo similar, $\mathsf{\underbrace{(b+c)}_{\in\mathbb{Z}}\cdot a=0}$

e $\mathsf{ba+ca= 0+0=0.}$

Consequentemente, $\mathsf{(b+c)a=ba+ca}.$

Então, está provado que o conjunto $\mathbb{Z}$ munido da adição usual e da multiplicação definida por $a\cdot b=0\;\forall\,a,b\in\mathbb{Z}$ é um anel.