Question

Estou travada em calculos e nao consigo evoluir. Podem me ajudar? Com os calculos por favor

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Answer 1

4) u e v são ortogonais e |u| = √125

u = (a,b) e v = (-2,4)

Se u e v são ortogonais, seu produto escalar é zero. vou usar o simbolo · pra representar o produto escalar. Assim temos:

u·v = 0

(a,b)·(-2,4) = 0

-2a + 4b = 0     ( I )

Além disso, sabemos que |u| = √125. Ou seja

|u| = √125

√(a²+b²) = √125

a²+b² = 125  ( II )

Juntando as equações ( I ) e ( II ) temos um sistema. Basta resolvê-lo. Isolando a na equação ( I ) fica:

2a = 4b ⇒ a = 2b   ( III )

Substituindo na segunda encontramos

(2b)² + b² = 125

5b² = 125

b² = 25  ⇒ b = +5 ou b = -5

Pela equação ( III ) se b = +5 temos a = 10 e se b = -5 temos a = -10.

Assim temos duas soluções possíveis:

(a,b) = (5,10) ou (a,b) = (-5,-10)

5) Para B ser a inversa de A devemos ter AB = Identidade. Ou seja:

$\left[ \begin{array}{cc} 2\sqrt 2 & 1 \\[2ex] 1 & \dfrac {\sqrt 2}2 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc} x & -1 \\[2ex] y & 2 \sqrt 2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\[2ex] 0 & 1 \end{array} \right]$

Multiplicando temos

$\left[ \begin{array}{cc} 2\sqrt 2x+y & -2 \sqrt 2 +2 \sqrt 2 \\[2ex]x + y \dfrac{\sqrt 2}{2} & -1 + 2 \sqrt 2 \dfrac {\sqrt 2}2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 2\sqrt 2x+y & 0 \\[2ex]x + y \dfrac{\sqrt 2}{2} & 1\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\[2ex] 0 & 1 \end{array} \right]$

Então devemos ter

$\begin{cases} 2 \sqrt 2 x + y = 1 \\[1.5ex] x + y \dfrac{\sqrt 2}2 = 0 \end{cases}$

Substituindo a equação embaixo na de cima ficamos com

$2 \sqrt 2 \left( - \dfrac{ \sqrt 2}{2}y \right) + y = 1 \Rightarrow \\[2ex]-2y+y = 1 \implies \boxed{y = -1}$

Substituindo esse valor obteremos $\boxed{x = \dfrac{\sqrt 2}{2}}$

Outra maneira de resolver o problema é calcular a inversa de A, e comparar com B encontrando x e y. Geralmente isso da trabalho, mas para matrizes 2x2 vc pode usar o seguinte: Se M é a matriz

$\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right]$

Então a inversa de M é a matriz

$\dfrac 1{\det M}\left[ \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right] = \dfrac 1{ad-bc}\left[ \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right]$

No caso da matriz do problema, temos det A = 1

Dai concluímos que y = -1 e que x = √2 / 2