Question

Estou tentando resolver esta integral pelo método da Substituição, mas sempre que vou substituir o u : x²+2x^4 e derivar pra obter o du: 2x + 8x³ não consigo substituir o du.
Me ajudem!

$\int\ \sqrt{ x^{2} + 2 x^{4} } \, dx$

Answer 1

Olá  Thaisane

Sendo a integral:
$\int\limits{ \sqrt{ x^{2} +2 x^{4} } } \, dx ~~~--\ \textgreater \ podemos~fatorizar~o~radicando~assim. \\ \int\limits { \sqrt{ x^{2} (1+2 x^{2} )} } \, dx ~~--\ \textgreater \ por~tanto~ficaria~assim ~veja. \\ \int\limits {x \sqrt{1+2 x^{2} } } \, dx ~~---\ \textgreater \ ordenando \\ \boxed{ \int\limits { (\sqrt{1+2 x^{2} } })x \, dx }$

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Agora por método de substituição fazemos:
$\boxed{u=1+2 x^{2} }\\ \frac{du}{dx} =0+4x=4x \\ du=4xdx \\ \boxed{xdx= \frac{du}{4} }$
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Agora vamos substituir  veja:
$\int\limits( { \sqrt{1+2 x^{2} })x } \, dx ~~substituindo~temos. \\ \int\limits { \sqrt{u} } \, \frac{du}{4} \\ \frac{1}{4} \int\limits { \sqrt{u} } \, du~~--\ \textgreater \ agora~fazemos~[ \sqrt{u} = u^{1/2} ] \\ \frac{1}{4} \int\limits { u^{1/2} } \, du~~integrando~temos: \\ \frac{1}{4} .( \frac{ u^{1/2+1} }{1/2+1} )+C \\ \frac{1}{4} ( \frac{ u^{3/2} }{3/2} )+C$

$\frac{2}{4} .( \frac{ \sqrt{ u^{3} } }{3} )+C~~--\ \textgreater \ simplificando,temos: \\ \frac{1}{6} \sqrt{ u^{3} } +C~~\ \textgreater \ agora~se~sabe~que[u=1+2 x^{2} ],substituindo~em~(u) \\ \boxed{\boxed{ \frac{1}{6} \sqrt{(1+2 x^{2} ) ^{3} } +C}}----\ \textgreater \ ok?$

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                               Espero ter ajudado!!