Question

Estou tendo dificuldades nesta integral, (tentei tanto em dy dx , quando dx dy ). Quando chego na regra de substituição por partes eu caio em um "loop infinito". Se alguem puder me ajudar eu vou agradecer muito!$\int\limits^1_0 \int\limits^2_0 {xy e^{ x^{2} y} } \, dy dx$

Answer 1

Vamos integrar na ordem dx dy. Como o domínio de integração é um retângulo, não precisamos nos preocupar com os extremos de integração. Basta inverter a ordem das integrais:

$\displaystyle\mathsf{I=\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}xy\,e^{x^{2}y}\,dx\,dy}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}2xy\,e^{x^{2}y}\,dx\,dy}~~~~~~\mathbf{(i)}$


Vamos primitivar em x, fazendo a seguinte substituição:

$\mathsf{e^{x^{2}y}=u~~\Rightarrow~~2xy\,e^{x^{2}y}\,dx=du}$


Mudando os limites de integração em $x:$

$\mathsf{Quando~~x=0~~\Rightarrow~~u=1}\\\\ \mathsf{Quando~~x=1~~\Rightarrow~~u=e^{y}}$


Substituindo em $\mathbf{(i)},$ a integral fica

$\displaystyle\mathsf{=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}\int_{1}^{e^{y}}du\,dy}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}(u)|_1^{e^{y}}\,dy}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1}{2}\cdot (e^{y}-y)|_0^2}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1}{2}\cdot \left[(e^{2}-2)-(e^{0}-0) \right ]}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1}{2}\cdot \left[e^{2}-2-1 \right ]}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1}{2}\cdot \left[e^{2}-3 \right ]}\\\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} \mathsf{\displaystyle\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}xy\,e^{x^{2}y}\,dx\,dy=\frac{1}{2}\,(e^{2}-3)} \end{array}}$