Question

Estou precisando de ajuda nesta questão:

Answer 1

La ecuación del cono dado es $z=\dfrac{b}{a}\sqrt{x^2+y^2}\;,\; 0\leq z\leq b$

Lo que necesitamos es una ecuación paramétrica de este cono

$r(u,v)=\left(u\cos v,u\sin v,\dfrac{bu}{a}\right)\;,\; u\in[0,a]\;,\, v\in[0,2\pi)$

Por ende

$\displaystyle \iint\limits_{S}\sqrt{x^2+y^2}\,dS=\iint\limits_{H}u\cdot \|r_u\times r_v\|\,du\,dv\\ \\ \text{Onde: }H=\{(u,v):0\leq u\leq a\;,\; 0\leq v\ \textless \ 2\pi\}\\ \\ \iint\limits_{S}\sqrt{x^2+y^2}\,dS=\iint\limits_{H}u^3\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}\,du\,dv\\ \\ \\ \iint\limits_{S}\sqrt{x^2+y^2}\,dS=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}\iint\limits_{H}u^3\,du\,dv$

$\displaystyle \iint\limits_{S}\sqrt{x^2+y^2}\,dS=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}u^3\,du\,dv\\ \\ \\ \iint\limits_{S}\sqrt{x^2+y^2}\,dS=2\pi\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}\int_{0}^{a}u^3\,du\\ \\ \\ \boxed{\iint\limits_{S}\sqrt{x^2+y^2}\,dS=\dfrac{a^3\pi}{2}\sqrt{a^2+b^2}}$