Question

Estou precisando de ajuda nesta questão:

Answer 1

$\bullet\;\;$ Calcule o volume do corpo (sólido) limitado pelas superfícies

plano $z=0,$ pelo cilindro $x^{2}+y^{2}=1,$ e pelo plano $x+y+z=3.$

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Podemos enxergar o sólido como sendo a porção abaixo do gráfico da função

$z=f(x,\;y)=3-x-y,$

acima do plano $xy$ (que é o plano $z=0$ )

e limitado ao domínio $D$ no plano $xy:$

sendo $D=\{(x,\;y)\in\mathbb{R}^{2}\left|\,x^{2}+y^{2}\le 1\right.\}$

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Podemos calcular este volume utilizando integrais duplas:

$V=\displaystyle\iint_{D}{f(x,\;y)\,dx\,dy}\\\\\\ =\iint_{D}{(3-x-y)\,dx\,dy}~~~~~~\mathbf{(i)}$


Como o domínio de integração é um círculo, vamos mudar para coordenadas polares:

$\begin{array}{cc} \left\{ \begin{array}{l} x=r\cos \theta\\ \\ y=r\,\mathrm{sen\,}\theta \end{array}\right.&~~~~\begin{array}{c} 0\leq \theta \leq 2\pi\\ \\ 0\leq r\leq 1 \end{array} \end{array}$


O módulo do Jacobiano desta transformação é $|\mathrm{Jac\,}\phi|=r.$


A função a ser integrada também sofrerá transformação:

$f(x,\;y)=g(r,\;\theta)\\\\ 3-x-y=3-r\cos \theta-r\mathrm{sen\,}\theta\\\\ 3-x-y=3-r\,(\cos \theta-\mathrm{sen\,}\theta)\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} g(r,\;\theta)=3-r\,(\cos \theta-\mathrm{sen\,}\theta) \end{array}}$


Reescrevendo as integrais iteradas em $\mathbf{(i)},$ temos

$V=\displaystyle\iint_{D}{f(x,\;y)\,dx\,dy}\\\\\\ =\iint_{D_{r,\,\theta}}{g(r,\;\theta)\cdot |\mathrm{Jac\,}\phi|\,dr\,d\theta}\\\\\\ =\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{1}{[3-r\,(\cos \theta-\mathrm{sen\,}\theta)]\cdot r\,dr\,d\theta}\\\\\\ =\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{1}{[3r-r^{2}\,(\cos \theta-\mathrm{sen\,}\theta)]\,dr\,d\theta}\\\\\\ =\int\limits_{0}^{2\pi}\left.\left(\dfrac{3r^{2}}{2}-\dfrac{r^{3}}{3}\,(\cos \theta-\mathrm{sen\,}\theta) \right )\right|_{0}^{1}\,d\theta$

$=\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{3}\,(\cos \theta-\mathrm{sen\,}\theta) \right )\!d\theta\\\\\\ =\left.\left(\dfrac{3\theta}{2}-\dfrac{1}{3}\,(\mathrm{sen\,}\theta+\cos \theta) \right )\right|_{0}^{2\pi}\\\\\\ =\dfrac{3}{2}\cdot (2\pi-0)\\\\\\ =3\pi\mathrm{~u.v.}$