Matemática, perguntado por tpseletricista, 1 ano atrás

Estou estudando calculo, preciso de uma ajuda nesta questão?

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
1
(a) Queremos calcular a seguinte integral de linha

\displaystyle\oint_\Gamma\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y)\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}~~~~~~\mathbf{(i)}

sendo \overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y) o seguinte campo vetorial:

\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y)=P(x,\,y)\overrightarrow{\mathbf{i}}+Q(x,\,y)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\\\ \overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y)=\left\langle\, P(x,\,y),\;Q(x,\,y)\,\right\rangle


As componentes P e Q do campo são as seguintes funções:

\left\{ \!\begin{array}{l} P(x,\,y)=e^x(1-\cos y)\\\\ Q(x,\,y)=-e^x(y-\mathrm{sen\,}y) \end{array} \right.

_______________________

A curva \Gamma é regular por partes, o domínio do campo \overrightarrow{\mathbf{F}} é todo o \mathbb{R}^2, e as componentes de \overrightarrow{\mathbf{F}} são contínuas em \mathbb{R}^2. Portanto vale o Teorema de Green:

\displaystyle\oint_\Gamma\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y)\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}=\iint_{\mathrm{int}(\Gamma)}\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y} \right )dx\,dy~~~~~~\mathbf{(ii)}

onde \mathrm{int}(\Gamma) é a região do plano compreendida no interior da curva \Gamma.

________________________

\bullet~~\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left[-e^x\,(y-\mathrm{sen\,}y) \right ]\\\\\\ =\dfrac{\partial}{\partial x}(-e^x)\cdot (y-\mathrm{sen\,}y)-e^x\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(y-\mathrm{sen\,}y)\\\\\\ =-e^x\cdot (y-\mathrm{sen\,}y)-e^x\cdot 0\\\\\\ \therefore~~\dfrac{\partial Q}{\partial x}=-e^x\,(y-\mathrm{sen\,}y)


\bullet~~\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left[e^x\,(1-\cos y) \right ]\\\\\\ =\dfrac{\partial}{\partial y}(e^x)\cdot (1-\cos y)+e^x\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(1-\cos y)\\\\\\ =0\cdot (1-\cos y)+e^x\cdot (0+\mathrm{sen\,}y)\\\\\\ \therefore~~\dfrac{\partial P}{\partial y}=e^x\,\mathrm{sen\,}y


\bullet~~ Dessa forma,

\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=-e^x\,(y-\mathrm{sen\,}y)-e^x\,\mathrm{sen\,}y\\\\\\ \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=-y\,e^x+e^x\,\mathrm{sen\,}y-e^x\,\mathrm{sen\,}y\\\\\\ \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=-y\,e^x~~~~~~\mathbf{(iii)}

_________________________

Substituindo em \mathbf{(ii)}, a integral pedida é

\displaystyle\oint_\Gamma\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y)\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}=\iint_{\mathrm{int}(\Gamma)}(-y\,e^x)\,dx\,dy\\\\\\ =\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\mathrm{sen\,}x}(-y\,e^x)\,dy\,dx\\\\\\ =-\int_{0}^{\pi}e^x\cdot \left.\left(\dfrac{y^2}{2} \right )\right|_{0}^{\mathrm{sen\,}x}\,dx\\\\\\ =-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}e^x\,\mathrm{sen^2\,}x\,dx\\\\\\ =-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}e^x\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\,\cos\,2x \right )dx

=\displaystyle-\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi}e^x\,dx+\dfrac{1}{4}\int e^x\cos\,2x\,dx\\\\\\ =-\frac{1}{4}\,(e^x)|_0^\pi+\dfrac{1}{4}\int_0^\pi e^x\cos\,2x\,dx\\\\\\ =-\frac{1}{4}\,(e^\pi-e^0)+\dfrac{1}{4}\int_0^\pi e^x\cos\,2x\,dx\\\\\\ =-\frac{1}{4}\,(e^\pi-1)+\dfrac{1}{4}\int_0^\pi e^x\cos\,2x\,dx~~~~~~\mathbf{(iv)}

_____________________

Avaliando a seguinte integral (via método de integração por partes)

\displaystyle\int e^x\cos\,2x\,dx=\dfrac{2}{5}\,e^x\,\mathrm{sen\,}2x+\dfrac{1}{5}\,e^x\cos 2x+C

(não coloquei os detalhes da resolução, pois é um passo intermediário que tomaria muito espaço aqui)


Portanto,

\displaystyle\int_0^\pi e^x\cos\,2x\,dx=\left.\left(\dfrac{2}{5}\,e^x\,\mathrm{sen\,}2x+\dfrac{1}{5}\,e^x\cos 2x \right )\right|_0^\pi\\\\\\ =\left(\dfrac{2}{5}\,e^\pi\,\mathrm{sen\,}2\pi+\dfrac{1}{5}\,e^\pi\cos 2\pi \right )-\left(\dfrac{2}{5}\,e^0\,\mathrm{sen\,}0+\dfrac{1}{5}\,e^0 \cos 0 \right)\\\\\\ =\dfrac{1}{5}\,e^\pi-\dfrac{1}{5}

_____________________

Substituindo em \mathbf{(iv)}, finalmente obtemos

\displaystyle\oint_\Gamma \overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y)\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}=-\frac{1}{4}\,(e^\pi-1)+\dfrac{1}{4}\cdot \left(\dfrac{1}{5}\,e^\pi-\dfrac{1}{5} \right )\\\\\\ =-\frac{1}{4}\,e^\pi+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{20}\,e^\pi-\dfrac{1}{20}\\\\\\ =\frac{-5+1}{20}\,e^\pi+\dfrac{5-1}{20}\\\\\\ =\frac{-4}{20}\,e^\pi+\dfrac{4}{20}\\\\\\ =\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{5}\,e^\pi


Lukyo: Acredito que a letra (b) não tenha como responder. Note que os pontos (1/2, -1/2) e (-1/2, 1/2) são pontos da curva Γ (o contorno do quadrado), mas o campo vetorial não está definido nestes dois pontos...
Lukyo: E o que é pior: No interior de Γ, há um segmento de reta inteiro onde as derivadas parciais das componentes do campo não estão definidas... O segmento y = -x; com -1/2 < x < 1/2.
Lukyo: Então, as componentes P e Q do campo não são de classe C1 no interior de Γ, de forma que o Teorema de Green não pode ser aplicado.
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