Question

Estou dando 20 pontos para quem responder essas equações!! me ajudem por favor é para hoje

$a)\left \{ {{y^{2} =13-x^{2}} \atop {x=1+y}} \right. b)\left \{ {{y+3x=5} \atop {3xy+4=2y}} \right. c)\left \{ {{x^{2} +y^{2=5} } \atop {x+y=1}} \right.$

Answer 1

RESPOSTAS (conjunto solução de cada sistema):

• a) S = {(– 2 , – 3) ; (3 , 2)}

• b) S = {(1/3 , 4) ; (2 , –1)}

• c) S = {(– 1 , 2) ; (2 , – 1)}

A forma como resolveremos estes sistemas será por substituição, que consiste em isolar uma variável e substituir seu valor auxiliar numa outra eq. de modo a encontrar uma das variáveis, e depois substituir esse valor encontrado na eq. manipulada para encontrar o valor da variável restante. Observe:

letra a)

$\begin{cases}y^2=13-x^2~(i)\\x=1+y~(ii)\end{cases}$

Veja que a eq. (ii) apresenta-nos um valor para x, então substitua-o na eq. (i):

$y^2=13-(1+y)^2$

$y^2=13-(1^2+2\cdot1\cdot y+y^2)$

$y^2=13-(1+2y+y^2)$

$y^2=13-1-2y-y^2$

$y^2+y^2+2y-12=0$

$2y^2+2y-12=0$

$2(y^2+y-6)=0$

$y^2+y-6=\dfrac{0}{2}$

$y^2+y-6=0$ ⇒ resolvendo por fatoração:

$y^2+3y-2y-6=0$

$y(y+3)-2(y+3)=0$

$(y+3)(y-2)=0$

$y+3=0\vee y-2=0$

$y_1=-\,3\vee y_2=2$

Portanto, substitua y₁ na eq. (ii):

$x=1+(-\,3)$

$x=1-3$

$x_1=-\,2$

E substitua y₂ também:

$x=1+2$

$x_2=3$

Conclui-se então, que o sistema tem duas soluções:

$S=\big\{\big(-2~,\,-\,3\big)~;~\big(3~,~2\big)\big\}$

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letra b)

$\begin{cases}y+3x=5~(i)\\3xy+4=2y~(ii)\end{cases}$

Note que a eq. mais fácil pra isolar uma variável é a (i), então fazendo isso:

$y+3x=5~\Rightarrow~y=5-3x$

Substitua-o na eq. (ii):

$3x(5-3x)+4=2(5-3x)$

$15x-9x^2+4=10-6x$

$9x^2-15x-6x+10-4=0$

$9x^2-21x+6=0$

$3(3x^2-7x+2)=0$

$3x^2-7x+2=\dfrac{0}{3}$

$3x^2-7x+2=0$ ⇒ resolvendo por fatoração:

$3x^2-x-6x+2=0$

$x(3x-1)-2(3x-1)=0$

$(3x-1)(x-2)=0$

$3x-1=0\vee x-2=0$

$x_1=\dfrac{1}{3}\vee x_2=2$

Assim, substitua x₁ na eq. manipulada:

$y=5-3\cdot\dfrac{1}{3}$

$y=5-1$

$y_1=4$

Substitua também x₂:

$y=5-3\cdot2$

$y=5-6$

$y_2=-\,1$

Logo, o conjunto solução é:

$S=\bigg\{\bigg(\dfrac{1}{3}~,~4\bigg)~;~\big(2~,\,-\,1\big)\bigg\}$

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letra c)

$\begin{cases}x^2+y^2=5~(i)\\x+y=1~(ii)\end{cases}$

Na eq. (ii) a isolação é mais prática, então isolando y:

$x+y=1~\Rightarrow~y=1-x$

E substituindo na eq. (i), obtém-se:

$x^2+(1-x)^2=5$

$x^2+1^2-2\cdot1\cdot x+x^2=5$

$x^2+1-2x+x^2=5$

$2x^2-2x+1-5=0$

$2x^2-2x-4=0$

$2(x^2-x-2)=0$

$x^2-x-2=\dfrac{0}{2}$

$x^2-x-2=0$ ⇒ resolvendo por fatoração:

$x^2+x-2x-2=0$

$x(x+1)-2(x+1)=0$

$(x+1)(x-2)=0$

$x+1=0\vee x-2=0$

$x_1=-\,1\vee x_2=2$

Então, substituindo x₁ na eq. manipulada, obtém-se:

$y=1-(-\,1)$

$y=1+1$

$y_1=2$

E por fim, substitua x₂:

$y=1-2$

$y_2=-\,1$

Desse modo, o conjunto solução é:

$S=\big\{\big(-1~,2\big)~;~\big(2~,\,-\,1\big)\big\}$

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.