Question

Estou com uma dúvida que parece tosca mas... vim perguntar:

É o seguinte:
Quando temos uma fração dividida por uma fração, mantemos a primeira, invertemos a segunda e multiplicamos certo?
Ex.:
$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \to \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1}\to \boxed{1} \\ \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} \to \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1}\to \boxed{\frac{1}{2}}$

Porém, supondo uma equação onde:
$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{x}} = 0 \to \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{1} = 0 \to \frac{x}{2} = 0 \to \boxed{x = 0}$
Eu não posso fazer isso certo? ou posso?

Agora nessa inequação:
$\frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \geq 0 \to \frac{1}{\frac{x+1}{x}} \geq 0 \to 1 \cdot \frac{x}{x+1} \geq 0$

Ai estudando os sinais daria:
-1 $A \geq -1 \\ B \geq 0$

A∧B ≥ 0

Porém a expressão passa por todas as condiçoes de existência?
x≠0 deve ser visto ou eu posso ignorá-la já que se eu desenvolver chego em um local onde a condição de existência inexiste?

Answer 1

REFAZENDO passo a passo

1º) EXEMPLO

1/2 sobre 1/2  ou 1/2 : 1/2
   
    1
  ------
    2
------------- = FRAÇÃO em cima de FRAÇÃO ou
    1           FRAÇÃO divide FRAÇÃO ou
  -------        FRAÇÃO sobre FRAÇÃO
     2
                COPIA  o 1º (conserva) e INVERTE o 2º multiplicando
  
  1        2         1x2        2         2÷2         1
----- x -------- = -------- =  ------ =  -------- =  ------- = 1
  2         1        2x1        2         2÷2          1
 



2º) EXEMPLO (CORRETISSÍMA)



3º) exemplo

1/2 sobre 1/x= 0    ou  1/2 divide 1/x = 0
  
    1
  -----
    2
------------- = 0  (ENTÃO) conserva o 1º e INVERTE o 2ºmultiplicando
   1
 -----
   x


 
  1        x
-----x ------- =  0
  2       1


1(x)
------=   0
2(1) 


1x
----- = 0    (ATENÇÃO)   nesse CASO  temos que FAZER o mmc(2) = 2  
 2 

1(1x) = 2(0)
------------------   FRAÇÃO com igualdade DESPREZA o denominador
     2

1(1x) = 2(0)
1x = 0
x = 0


OU   OUTRA MANEIRA DE FAZER

1
---
2
------- = 0
1
---
x

1        x
-----x ------ = 0
2        1



1(x)
--------- = 0
2(1)

1x
------- = 0
2            -----------> o (2) está DIVIDINDO passa multiplicando

1x = 0(2)

1x = 0
x = 0/1
x = 0



4º) EXEMPLO
   
  
      1
-------------- ≥ 0
  1  +  1
       ------
          x


        1
------------------- ≥ 0
   1(x) + 1
   ----------
       x


                           lembrete do 1º (1)  PARA melhor VISÃO e resolução
       1                   1 = 1/1
------------------ ≥ 0
   1x + 1
   ----------
       x


  1      1x + 1
----(-----------------) ≥ 0
  1          x


1(1x+1)
------------ ≥ 0      fazer a distributiva ( multiplicação)
   1(x)


  1x + 1
------------ ≥ 0   VAMOS batizar
    x              


(A)   1x + 1
      ---------------- ≥ 0    fazendo o A
(B)       x              fazendo o B

(A) 1x + 1 = 0  (igualamos a ZERO)
     
     1x + 1 = 0                                       
      1x = - 1                                           -1
        x = - 1                    -----------------------o/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\>
                                                                                   x
                                     0
(B) x = 0   ----------------------o/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\>
                                                                                     x
                                - 1                   0  
                   ---------------|--------------------|-----------------------------
               A           -             +                  +
                  ----------------o/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\///\/\/\/\/\/\/\/\/\//\/\//\/\/\/\>
               B           -             -                   +
                 -----------------|--------------------o/\/\/\/\/\/\/\/\//\/\/\/\/\/\//\/\>  
                AB        +           -                    +
                /\/\/\/\/\/\//\/\O--------------------O//\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\//\>
                      x ≤      -1                        x ≥ 0

V = { x ∈ R| x ≤ 0  ou x≥ 0 }