Question

Estou com uma dúvida no cálculo desse limite:

Lim ( (1-cos(x))^2)/x^4
x=>0

A ideia é resolver usando apenas as propriedades de limites, ou seja, sem usar derivada ou regra de L'Hopital.

Answer 1

Pretendemos calcular o valor do limite:

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1-\cos x)^2}{x^4}.$

Notamos primeiro que a substituição direta $x \to 0$ conduz a uma indeterminação:

$\dfrac{(1- \cos 0)^2}{0^4} = \dfrac{(1-1)^2}{0} = \dfrac{0}{0} \to \textrm{indetermina\c{c}\~{a}o}.$

Vamos então multiplicar e dividir a fração por $(1 + \cos x)^2$ e aplicar o caso notável da diferença de quadrados:

$\dfrac{(1-\cos x)^2}{x^4} \times \dfrac{(1+\cos x)^2}{(1+\cos x)^2} = \dfrac{[(1-\cos x)(1+\cos x)]^2}{x^4(1+\cos x)^2} = \dfrac{(1-\cos^2 x)^2}{x^4(1+\cos x)^2}.$

Da fórmula fundamental da trigonometria, temos:

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \iff \sin^2 x = 1 - \cos^2 x,$

donde podemos reescrever a fração na forma:

$\dfrac{(\sin^2 x)^2}{x^4(1+\cos x)^2} = \dfrac{1}{(1+\cos x)^2} \times \dfrac{\sin^4 x}{x^4}.$

Podemos agora tomar o limite quando $x \to 0$:

$\lim\limits_{x \to 0} \left[\dfrac{1}{(1+\cos x)^2} \times \dfrac{\sin^4 x}{x^4}\right] = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{(1+\cos x)^2} \times \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^4 x}{x^4} = \\\\= \dfrac{1}{(1 + \cos 0)^2} \times \left(\underbrace{\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}}_{=1}\right)^4 = \dfrac{1}{2^2} \times 1^4 = \dfrac{1}{4}.$

Obtemos então o resultado final:

$\boxed{\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1-\cos x)^2}{x^4} = \dfrac{1}{4}}.$