Question

Estou com duvidas nessa raiz desses polinômios que estão em anexos, tentei fazer como alguns usuários responderam aqui no brainly, porem não deram o mesmo resultado. Gostaria que auguem pudesse explicar como foi chegado a esse resultado

Usei metodo de bhaskara e mesmo assim, não consegui obter o resultado

Answer 1

 Olá IvsFriston, boa tarde!

 Existe um método para determinar as raízes de uma função polinomial que acho bem interessante. É o TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS.

 Vou tentar explicar de maneira clara. Para isso, considere a função polinomial $\mathbf{f(x) = a_n \cdot x^n + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + ... + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0}$, onde $\mathbf{a_n, a_{n - 1},..., a_2, a_1, a_0 \in \mathbb{Z}}$. Se ela tem raízes racionais na forma $\mathbf{\frac{p}{q}}$, em que $\mathbf{p, q \in \mathbb{Z} \ e \ q \neq 0}$, então $\mathbf{a_0}$ é divisível por $\mathbf{p}$ e $\mathbf{a_n}$ é divisível por $\mathbf{q}$.

 Isto posto, temos que: $\mathbf{a_0 = - 4}$ e $\mathbf{a_n = 1}$. Com isso, tiramos que os possíveis valores para "p" são {- 1, 1, - 2, 2, - 4, 4}; de modo análogo, os possíveis valores para "q" são {- 1, 1}.

 Obs.: note que "p" e "q" correspondem aos divisores dos coeficientes "a_0" e "a_n", respectivamente.

 Daí, as possíveis raízes da equação em questão, sob a forma p/q são dadas abaixo:

$\\ \displaystyle \mathbf{\left \{ \frac{- 1}{- 1}, \frac{1}{- 1}, \frac{- 2}{- 1},\frac{2}{- 1}, \frac{- 4}{- 1}, \frac{4}{- 1}, \frac{- 1}{1}, \frac{1}{1}, \frac{- 2}{1}, \frac{2}{1}, \frac{- 4}{1}, \frac{4}{1} \right \}} \\\\ \Downarrow \\\\ \mathbf{\left \{ 1, - 1, 2, - 2, 4, - 4 \right \}}$

 Verificando as possíveis raízes acima não é difícil concluir que 1 e 2 são soluções; em contrapartida, a equação possui grau três e do Teorema Fundamental da Álgebra tiramos que a equação possui três raízes. Dito isto, devemos encontrar a terceira raiz; podemos fazer isso aplicando duas maneiras distintas bem usuais: Dispositivo prático de Briot-Ruffini e divisão de polinômios.

 Farei por divisão. Com isso, devemos determinar o divisor sabendo que 1 e 2 são raízes da equação, ou seja, a equação do terceiro grau é divisível por $\mathbf{(x - 1)}$ e $\mathbf{(x - 2)}$. Daí,

$\\ \mathsf{divisor = (x - 1) \cdot (x - 2)} \\\\ \mathsf{divisor = x^2 - 2x - x + 2} \\\\ \mathsf{divisor = x^2 - 3x + 2}$

 Portanto,

x³ - 5x² + 8x - 4 | x² - 3x + 2
_____________|x - 2
+ x³ - 5x² + 8x
- x³ + 3x² - 2x
_____________
- 2x² + 6x - 4
+ 2x² - 6x + 4
_____________
0

 Ou seja,

$\\ \mathsf{Dividendo = divisor \cdot quociente + resto} \\\\ \mathsf{x^3 - 5x^2 + 8x - 4 = (x^2 - 3x + 2) \cdot (x - 2) + 0} \\\\ \mathsf{x^3 - 5x^2 + 8x - 4 = \left [ (x - 1) \cdot (x - 2) \right ] \cdot (x - 2)} \\\\ \boxed{\mathsf{x^3 - 5x^2 + 8x - 4 = (x - 1)(x - 2)^2}}$

 Com isso, podemos concluir que a outra (terceira) raiz é também o DOIS. Vale salientar que quando uma raiz aparece mais de uma vez como solução denomina-se "multiplicidade". Ou seja, as raízes são {1, 2}, mas 2 tem multiplicidade dois!

 Espero ter ajudado!!

 Bons estudos.