Question

estou com dúvida neste exercício, alguem pode me ajudar?

Answer 1

A letra C e a correta

Answer 2

Analisando I

D = {(x,y) ∈ R² / x²+y² ≤ 4}

De fato, no conjunto dos reais não existe raíz quadrada de um número negativo

Supondo que x = 1 e y = 1, assim x²+y² vai ser igual a 1²+1² que é igual a 2

para x=1 e y=1 temos na função f(x,y) o seguinte

f(2,2) = $\sqrt{4 - 1^{2} -1^{2} } = \sqrt{2}$ (pertence ao dominio)

Supondo que x = 2 e y = 2, assim x²+y² vai ser igual a 2²+2² que é igual a 8

para x=2 e y=2 temos na função f(x,y) o seguinte

f(2,2) = $\sqrt{4 - 2^{2} -2^{2} } = \sqrt{-4}$ (não pertence ao dominio, pois não existe raíz de numero negativo no conj dos reais)

Se por acaso x²+y² for maior que 4, então a função f(x,y) será igual a uma raíz quadrada de um número negativo.

Analisando II

A derivada de f(x,y) em relação a x é igual a

$\frac{1}{2} * (4-x^{2} -y^{2} )^{\frac{-1}{2}} * (4-x^{2} -y^{2} )'$

$\frac{1}{2} * (4-x^{2} -y^{2} )^{\frac{-1}{2}} * -2x$

$\frac{-x}{\sqrt{(4-x^{2} -y^{2} )} }$

De forma análoga

A derivada de f(x,y) em relação a y é igual a

$\frac{1}{2} * (4-x^{2} -y^{2} )^{\frac{-1}{2}} * (4-x^{2} -y^{2} )'$

$\frac{1}{2} * (4-x^{2} -y^{2} )^{\frac{-1}{2}} * -2y$

$\frac{-y}{\sqrt{(4-x^{2} -y^{2} )} }$

Analisando a III

Como visto em II, as derivadas de f(x,y) em relação a x e em relação a y são diferentes

Logo, a única afirmaçao verdadeira é a I

Obs: se quiser testar as derivadas, tem 2 sites recomentados que mostram passo a passo

1- wolfram alpha

2 symbolab

Espero ter ajudado, bons estudos!