Question

Estou com dúvida nessa questão de divisão de polinômios, alguém consegue me explicar e mostrar a resolução ?

Dividindo-se o polinômio P(x) = x^5 + ax^4 + bx^2 + cx + 1 por x - 1; obtém-se resto igual a 2. Ao dividir P(x) por x + 1; obtém-se resto igual a 3. Sabendo que P(x) é divisível por x - 2, calcule ab/c:
Resposta: 9

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{ab}{c}=9}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas propriedades de polinômios.

Neste caso, utilizaremos o teorema do resto para encontrar algumas expressões e então calcular o valor desejado.

Seja um polinômio $P(x)$ divisível por $x-\alpha$. Dizemos que o resto é igual a $P(\alpha)$.

Então, temos o seguinte polinômio $P(x)=x^5+ax^4+bx^2+cx+1$.

• Ele é divisível por $x-1$ e deixa resto 2. Aplicando o teorema do resto, teremos:

$P(1)=1+a+b+c+1=2$

Observe então que $a+b+c=0~~\mathtt{(I)}$.

• Ele é divisível por $x+1$ e deixa resto 3. Logo,

$P(-1)=-1+a+b-c+1=3$

Observa-se que $a+b-c=3~~\mathtt{(II)}$

• Ele é divisível por $x-2$ deixa resto 0. Teremos:

$P(2)=32+16a+4b+2c+1=0$

Observa-se que $16a+4b+2c=-33~~\mathtt{(III)}$

Preste atenção nos seguintes passos:

Ao fazermos $\mathtt{(I)+(II)}$, teremos que $a+b=\dfrac{3}{2}~~\mathtt{(IV)}$

Fazendo $2\cdot\mathtt{(II)+(III)}$, teremos

$18a+6b=-27~~\mathtt(V)$

Em um sistema comparando as equações $\mathtt{(IV)}$ e $\mathtt{(V)}$, temos

$\begin{cases}a+b=\dfrac{3}{2}\\\\ 18a+6b=-27\\\end{cases}$

Faça  $-18\cdot\mathtt{(IV)}+\mathtt{(V)}$

$\begin{cases}-18a-18b=-27\\18a+6b=-27\\\end{cases}$

$-12b=-54$

Logo  $b=\dfrac{54}{12}=\dfrac{9}{2}$. Substituindo este valor em qualquer equação, vemos que

$a+\dfrac{9}{2}=\dfrac{3}{2}\\\\\\ a=-3$

Por fim, ao fazermos

$\dfrac{3}{2}-c=3$, vemos que $c=-\dfrac{3}{2}$.

A expressão $\dfrac{ab}{c}$ será:

$\dfrac{\left(-3\cdot\dfrac{9}{2}\right)}{\left(-\dfrac{3}{2}\right)}$

Multiplique os valores e simplifique as frações

$\dfrac{-3\cdot\dfrac{9}{2}\cdot 2}{-3}\\\\\\ 9~~\checkmark$

Este é o valor da expressão que procurávamos.