Question

Estou com dúvida apenas na LETRA B, alguem para ajudar? tenho gabarito.

Answer 1

Seja $\theta$ um número real que expressa um arco no ciclo trigonométrico:

$0\leq \theta <2\pi$


O ciclo trigonométrico se divide em quatro quadrantes. Sendo $k$ um número inteiro qualquer, temos que

$\bullet\;\;$ se $0+k \cdot 2\pi<\theta<\dfrac{\pi}{2}+k\cdot2\pi$, para algum $k$ inteiro, então a imagem de $\theta$ é no 1º quadrante.

$\bullet\;\;$ se $\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi<\theta<\pi+k\cdot 2\pi$, para algum $k$ inteiro, então a imagem de $\theta$ é no 2º quadrante.

$\bullet\;\;$ se $\pi+k\cdot 2\pi<\theta<\dfrac{3\pi}{2}+k\cdot 2\pi$, para algum $k$ inteiro, então a imagem de $\theta$ é no 3º quadrante.

$\bullet\;\;$ se $\dfrac{3\pi}{2}+k\cdot 2\pi<\theta<\left(k+1 \right )\cdot 2\pi$, para algum $k$ inteiro, então a imagem de $\theta$ é no 4º quadrante.

a) Temos $\theta=\dfrac{11\pi}{10}$,e vemos que

$\pi<\dfrac{11\pi}{10}<\dfrac{3\pi}{2}$

Logo, o ponto $P$, que é a imagem de $\theta=\dfrac{11\pi}{10}$ se encontra no 3º quadrante.


b) Sendo $P$ a imagem do número real $\theta$ no ciclo trigonométrico,

$\bullet\;\;$ o númeo real associado ao ponto $Q$, simétrico de $P$ em relação ao eixo horizontal é a imagem do número

$2\pi-\theta\\ \\=2\pi-\dfrac{11\pi}{10}\\ \\ =\dfrac{20\pi-11\pi}{10}\\ \\ =\dfrac{9\pi}{10}$

e temos que

$\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{9\pi}{10}<\pi$

Logo, $Q$ é um ponto do 2º quadrante.


$\bullet\;\;$ o númeo real associado ao ponto $R$, simétrico de $P$ em relação ao eixo vertical é a imagem do número

$\pi-\theta\\ \\ =\pi-\dfrac{11\pi}{10}\\ \\ =\dfrac{10\pi-11\pi}{10}\\ \\ =-\dfrac{\pi}{10}$

e temos que

$-\dfrac{\pi}{2} < -\dfrac{\pi}{10}<0\\ \\ \dfrac{3\pi}{2}-1\cdot 2\pi<-\dfrac{\pi}{10}<2\pi-1\cdot2\pi$

onde $k=-1$.

Logo, o ponto $R$ é um ponto do 4º quadrante.


$\bullet\;\;$ o númeo real associado ao ponto $S$, simétrico de $P$ em relação ao centro da circunferência trigonométrica é a imagem do número

$\theta \pm \pi$

(podemos escolher o sinal de mais, ou de menos, não irá fazer diferença no resultado final. Apenas encontraremos valores diferentes para $k$).


Escolhendo o sinal de menos, temos que

$\theta - \pi\\ \\ =\dfrac{11\pi}{10}-\pi\\ \\ =\dfrac{11\pi-10\pi}{10}\\ \\ =\dfrac{\pi}{10}$

e temos que

$0<\dfrac{\pi}{10}<\dfrac{\pi}{2}$


Logo, $S$ é um ponto do 1º quadrante.


A ilustração segue em anexo.