Question

Estou com dificuldades para resolver essas matrizes, gostaria de uma resolução do exercícios 5 e 6 detalhada explicando cada passo

Answer 1

Olá

5) Chamarei todas as matrizes X de $X = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$

Queremos que AX = XA, ou seja, 

$\left[\begin{array}{ccc}1&1\\0&0\end{array}\right]. \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]. \left[\begin{array}{ccc}1&1\\0&0\end{array}\right]$

Lembre-se que a ordem dos fatores altera o produto quando se trata de multiplicação de matriz.

Resolvendo a operação descrita acima, temos que:

$\left[\begin{array}{ccc}a+c&b+d\\0&0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}a&a\\c&c\end{array}\right]$

Logo, temos que:

a + c = a
c = 0

b + d = a
d = a - b

Portanto, a matriz X é da forma: $X = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\0&a-b\end{array}\right]$

6) Usando a matriz X definida anteriormente, temos que:

$\left[\begin{array}{ccc}2&1\\1&1\end{array}\right]. \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{ccc}2a+c&2b+d\\a+c&b+d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Portanto, temos o seguinte sistema:

{2a + c = 1
{2b + d = 0
{a + c = 0
{b + d = 1

Da terceira equação, temos que a = -c

Substituindo na primeira equação: -2c + c = 1
c = -1 e a = 1

Da quarta equação, temos que d = 1 - b

Substituindo na segunda equação:

2b + 1 - b = 0
b + 1 = 0
b = -1

Logo, d = 1 + 1 = 2

Portanto, $X = \left[\begin{array}{ccc}1&-1\\-1&2\end{array}\right]$