Question

Estou com dificuldades em resolver um exercício de calculo (derivada até segunda ordem):
Raíz cúbica de x.

Answer 1

Lembre-se:

$\boxed{\boxed{\sqrt[b]{x^{a}}=x^{\frac{a}{b}}}}$

Derivada de potências de x:

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}x^{n}=n\cdot x^{n-1}}}$

Derivada do produto:

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}f(x)\cdot g(x)=f'(x)\cdot g(x)+g'(x)\cdot f(x)}}$

Quando uma das funções é constante, por exemplo, g(x) = k, temos:

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}k\cdot f(x)=k\cdot f'(x)}}$
___________________________

$y=\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x^{1}}=x^{1/3}$

Derivando y:

$y'=\dfrac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1}=\dfrac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}$

Derivando y':

$\dfrac{d}{dx}y'=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}\right)\\\\\\y''=\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)\cdot x^{-\frac{2}{3}-1}=-\dfrac{2}{9}\cdot x^{\frac{-2-3}{3}}\\\\\\y''=-\dfrac{2}{9}\cdot x^{-\frac{5}{3}}=-\dfrac{2}{9}\cdot\dfrac{1}{x^{\frac{5}{3}}}\\\\\\y''=-\dfrac{2}{9\cdot x^{\frac{3}{3}}\cdot x^{\frac{2}{3}}}\\\\\\y''=-\dfrac{2}{9\cdot x^{1}\cdot\sqrt[3]{x^{2}}}\\\\\\\boxed{\boxed{y''=-\dfrac{2}{9x\sqrt[3]{x^{2}}}}}$