Question

Estima-se que, para o exportador, o valor v(x), em milhares de reais, do quilograma de certo minério seja dada pela lei: v(x)= 0,6x^2 - 2,4x + 6, sendo x o
numero de anos contados a partir de 2010 (x=0), com 0 <= x <= 10.
a) entre que anos o valor do quilograma desse produto diminuiu?
b) qual o valor mínimo atingido pelo quilograma do produto?
c) em que ano o preço do quilograma do produto será máximo? Qual será esse valor?

Answer 1

a) entre que anos o valor do quilograma desse produto diminuiu?

$X_{v} = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2,4)}{2*0,6} = \frac{2,4}{1,2} = 2$

Entre 2010 e 2012

b) qual o valor mínimo atingido pelo quilograma do produto?

$Y_{v} = \frac{-(b^{2} -4*a*c)}{4a} = \frac{-(-2,4^{2}-4*0,6*6 )}{4*0,6} = \frac{-(5,76-4*3,6)}{2,4} = \frac{-(-8,64)}{2,4} = 3,6$

R$ 3600,00

c) em que ano o preço do quilograma do produto será máximo? Qual será esse valor?

 Se a parábola é crescente depois de x = 2 (ano 2012), sendo 0≤ x ≤10, é de se esperar que o preço será máximo em x = 10 (ano 2020).
 Logo:
 
$V(x)= 0,6 x^{2} - 2,4x + 6 \\ V(10)= 0,6*10^{2} - 2,4 * 10 + 6 \\ V(10)= 0,6*100 - 24 + 6 \\ V(10)= 60 - 24+6 \\ V(10)= 42$

R$ 42000,00

Answer 2

a) O valor diminuiu entre os anos de 2010 e 2012.

b) O valor mínimo foi de R$3.600,00.

c) O valor máximo será R$42 mil no ano de 2020.

Equações do segundo grau

As equações do segundo grau são representadas por ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. O vértice da parábola é o ponto que representa o valor máximo ou valor mínimo da equação e suas coordenadas são dadas por:

xv = -b/2a

yv = -∆/4a

a) Como a função possui coeficiente a positivo, a concavidade é voltada para cima, então a função é decrescente até o vértice:

xv = -(-2,4)/2·0,6

xv = 2,4/1,2

xv = 2

Portanto, se x = 0 representa 2010, x = 2 representa 2012.

b) O vértice será o valor mínimo, logo:

yv = -((-2,4)² - 4·0,6·6)/4·0,6

yv = 8,64/2,4

yv = 3,6 mil

O valor mínimo foi de R$3.600,00.

c) Como a função é crescente a partir de x = 2, seu valor máximo será então x = 10 (ano de 2020):

v(10) = 0,6·10² - 2,4·10 + 6

v(10) = 60 - 24 + 6

v(10) = 42 mil

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