Question

Estima-se que após t dias a quantidade de feijão colhida por um produtor estará
aumentando à razão de Q(t)  0,3t2  0,6t 1 saco por dia. Qual será o aumento do
valor da colheita nos próximos 5 dias se o preço do saco de feijão permanecer constante
em R$ 3,00?

Answer 1

Resposta: o aumento do valor da colheita nos próximos 5 dias será de aproximadamente R$ 70,80.

A função Q(t) = 0,3t² + 0,6 + 1 expressa o aumento da quantidade de feijão em função do tempo t. O problema pede o aumento do valor da colheita nos próximos 5 dias, então integre a função Q(t) variando de 1 a 5, que são os dias que nos interessa, a fim de obter a quantidade de sacos:

$\displaystyle\int^{5}_{1}Q(t)~dt~\Rightarrow~\displaystyle\int^{5}_{1}0.3t^2+0.6t+1~dt$

Aplique as propriedades e calcule a integral indefinida; após isso calcularemos a integral definida aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

$\displaystyle\int0.3t^2+0.6t+1~dt$

$\displaystyle\int0.3t^2~dt+\displaystyle\int0.6t~dt+\displaystyle\int1~dt$

$0.3\cdot\displaystyle\int t^2~dt+0.6\cdot\displaystyle\int t~dt+\displaystyle\int1~dt$

$0.3\cdot\dfrac{t^3}{3}+c_1+0.6\cdot\dfrac{t^2}{2}+c_2+t+c^3$

$\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{t^3}{3}+\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{t^2}{2}+t+C$

$\dfrac{t^3}{10}+\dfrac{3t^2}{10}+t+C$

$\dfrac{t^3+3t^2}{10}+t+C$

Pelo teorema supracitado, tem-se $\displaystyle\int^{b}_{a} q(t)=Q(t)\Big|^{b}_{a}=Q(b)-Q(a)$, daí:

$\displaystyle\int^{5}_{1}0.3t^2+0.6t+1~dt=\dfrac{t^3+3t^2}{10}+t\:\bigg|^{5}_{1}=\dfrac{5^3+3\cdot5^2}{10}+5-\bigg(\dfrac{1^3+3\cdot1^2}{10}+1\bigg)$

$\displaystyle\int^{5}_{1}0.3t^2+0.6t+1~dt=\dfrac{5\cdot25+3\cdot25}{10}+5-\dfrac{1+3}{10}-1$

$\displaystyle\int^{5}_{1}0.3t^2+0.6t+1~dt=\dfrac{5\cdot5+3\cdot5}{2}+5-\dfrac{4}{10}-1$

$\displaystyle\int^{5}_{1}0.3t^2+0.6t+1~dt=\dfrac{25+15}{2}+5-\dfrac{2}{5}-\dfrac{5}{5}$

$\displaystyle\int^{5}_{1}0.3t^2+0.6t+1~dt=\dfrac{40}{2}+5-\dfrac{2-5}{5}$

$\displaystyle\int^{5}_{1}0.3t^2+0.6t+1~dt=20+5-\dfrac{7}{5}$

$\displaystyle\int^{5}_{1}0.3t^2+0.6t+1~dt=25-\dfrac{7}{5}$

$\displaystyle\int^{5}_{1}0.3t^2+0.6t+1~dt=\dfrac{125}{5}-\dfrac{7}{5}$

$\displaystyle\int^{5}_{1}0.3t^2+0.6t+1~dt=\dfrac{125-7}{5}$

$\boxed{\displaystyle\int^{5}_{1}0.3t^2+0.6t+1~dt=\dfrac{118}{5}}$

Se o preço do saco for constante em 3 reais nesses 5 dias, então o aumento será de 3 · 118/5 = 354/5 ≈ 70,80 reais.

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.