Question

ESTATÍSTICA
A) Qual a probabilidade dos gases considerados poluentes terem sidos lançados pela indústria I? Apresente os cálculos necessários para concluir o resultado encontrado.

B) Descreva por extenso a conclusão para o resultado encontrado na letra A.

Answer 1

Boa tarde João!

Solução!


Primeiro vamos escrever o teorema da probabilidade total.



$P(B)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} P(E_{i}\cap B)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} P(E_{i})(B|E _{i})\\\\\\\\\ Essa~~forma~~compactada~~acima~~pode~~ser~~escrita~~assim.\\\\\\\\\\ P(B)=P(A_{1}).P(B|A_{1})+ P(A_{2}).P(B|A_{2})+....+P(A_{n}).P(B|A_{n})$

Teorema de Bayes!

$P(A_{i} | B)= \dfrac{P(A_{i}).P(B|A_{i})}{ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}P(A_{i}).(B|A_{i})}$

O teorema de Bayes estando na forma compactada também pode ser escrito assim.

$P(A_{i}|B)= \dfrac{P(A_{i}). P(B|A_{i})}{P(A_{1}). P(B|A_{1}).P(A_{2}). P(B|A_{2})+....+P(A_{n}). P(B|A_{n}) }$

Veja que o teorema de Bayes é demonstrado usando o teorema da probabilidade total,e o que vai nos interessar para saber a probabilidade de lançamento de poluentes pela empresa I na atmosfera e o teorema de Bayes expandido.

$Produc\~ao~~de~~poluentes~~~~~~~~~~~~~~Lancamentos~~de~~poluentes\\\\\ P(I)= \dfrac{44}{100}=0,44\%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~I= \dfrac{3}{100}=0,03\% \\\\\\ P(II)= \dfrac{33}{100}=0,33\%~~~~~~~~~~~~~~~~~II= \dfrac{1}{100}=0,01\% \\\\\\ P(III)= \dfrac{23}{100}=0,23\%~~~~~~~~~~~~~~~~III= \dfrac{2}{100}=0,02\%$

Vamos chamar de probabilidade E a probabilidade total de interesse que vai representar a probabilidade total com os dados acima.

$P(E)=P(I).P(E|I)+P(II).P(E|II)+P(III).P(E|II)\\\\\\ P(E)=(0,44).(0,03)+(0,33).(0,01)+(0,23).(0,02)\\\\\\ P(E)=(0,0132)+(0,0033)+(0,0046)\\\\\ \boxed{P(E)=(0,0211)} \Rightarrow~~Probabilidade~~total!$

Vamos usar o teorema de Bayes expandido para tirarmos alguma conclusão!

$P(I|E)= \dfrac{P(I\cap E)}{P(E)}= \dfrac{P(I).P(I|E)}{P(E)}= \\\\\\\\\ \dfrac{P(I|E).P(I|E)}{P(I).P(E|I)+P(II).P(E|II)+P(III).P(E|II)}\\\\\\\ P(I|E)= \dfrac{(0,03).(0,44)}{(0,44).(0,03)+(0,33).(0,01)+(0,23).(0,02)}\\\\\\\ P(I|E)= \dfrac{(0,0132)}{(0,0211)}\\\\\\\ \boxed{P(I|E)=0,6255\%} \Rightarrow Essa~~e~~a~~probabilidade~~da~~empresa~~I\\\\\\ lancar~~poluentes~~no~~ ar.$

Fiz todo o desenvolvimento para que ficasse claro a expansão dos dois teoremas,mas no caso para obter o resultado só era necessários a última parte, é claro já conhecendo o desenvolvimento colocado acima,uma observação importante e que o denominador do teorema de Bayes é o próprio teorema da probabilidade total.

B) Justificativa!

Os poluentes podem ser laçados por qualquer uma das empresas em questão,observando cada um dos eventos podemos definir a probabilidade condicional, ou seja o acontecimento de um evento não interfere no outro,com isso baseado nos teoremas acima,somei as intersecções dos eventos obtendo a probabilidade E, que é a probabilidade total.Logo dividindo  o produto da probabilidade da empresa I pela probabilidade do evento E obtemos o percentual de poluentes lançados na atmosfera.

Boa noite!

Bons estudos!