Question

Estas são as opções de resposta,a pergunta segue em anexo.

48


24


64


32


15

Answer 1

Podemos calcular o integral de linha a partir da definição. Seja $\vec{r}:[0,2] \to \mathbb{R}^3$ a parametrização da curva $C$ dada por

$\vec{r}(t) = t\hat{i} + t^2\hat{j} + t^3\hat{k}$

e $\vec{F}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ a função dada por

$\vec{F}(x,y,z,) = yz\hat{i} + xz\hat{j} + xy\hat{k}.$

Podemos então escrever:

$\displaystyle\int\limits_C \vec{F}\cdot\textrm{d}\vec{r} = \int\limits_0^2 (\vec{F}\circ\vec{r})(t) \cdot \vec{r}\,'(t)\textrm{ d}t.$

Temos então:

$\vec{r}\,'(t) = (t\hat{i} + t^2\hat{j} + t^3\hat{k})' = \hat{i} + 2t\hat{j} + 3t^2\hat{k}.$

Além disso:

$(\vec{F} \circ \vec{r})(t) = \vec{F}(t,t^2,t^3) = t^5\hat{i} + t^4\hat{j} + t^3\hat{k}.$

O produto interno é então:

$(\vec{F} \circ \vec{r})(t) \cdot \vec{r}\,'(t) = (\hat{i} + 2t\hat{j} + 3t^2\hat{k}) \cdot (t^5\hat{i} + t^4\hat{j} + t^3\hat{k}) = t^5 + 2t^5 + 3t^5 = 6t^5.$

O integral fica então:

$\displaystyle\int\limits_0^2 (\vec{F}\circ\vec{r})(t) \cdot \vec{r}\,'(t)\textrm{ d}t = \int\limits_0^2 (6t^5)\textrm{ d}t = t^6\Big\vert_0^2 = 2^6 - 0^6 = 64.$

Resposta: $\boxed{\displaystyle\int\limits_C \vec{F}\cdot\textrm{d}\vec{r} = 64}.$