Question

estabelecer equaçoes reduzidas na variavel x da reta , interseção dos planos : pi 1: 3x -2y-z-1=0, pi 2: x+2y-z-7 = 0

Answer 1

A equação reduzida na variável x da reta é:

{y = (x + 3)/2

{z = (x - 11)/2.

Para definirmos a equação da reta que é a interseção entre os planos 3x - 2y - z = 1 e x + 2y - z = 7, precisamos de um vetor direção e um ponto.

O vetor direção será o produto vetorial entre os vetores normais dos planos, ou seja, u = (3,-2,-1) x (1,2,-1).

Então,

u = 4i + 2j + 8k

u = (4,2,8).

Agora, precisamos de um ponto.

Da equação x + 2y - z = 7, podemos dizer que x = 7 - 2y + z.

Substituindo o valor de x no outro plano:

3(7 - 2y + z) - 2y - z = 1

21 - 6y + 3z - 2y - z = 1

-8y + 2z = -20

-4y + z = -10

z = 4y - 10

e

x = 7 - 2y + 4y - 10

x = 2y - 3.

Os pontos da interseção são da forma (2y - 3, y, 4y - 10).

Considerando y = 1, temos o ponto (-1,1,-6).

Assim, as equações paramétricas da reta de interseção são:

{x = -1 + 4t

{y = 1 + 2t

{z = -6 + 8t.

Como queremos a equação reduzida na variável x, então:

x + 1 = 4t

t = (x + 1)/4.

Portanto:

{y = (x + 3)/2

{z = (x - 11)/2.