estabelecer equaçoes reduzidas na variavel x da reta , interseção dos planos : pi 1: 3x -2y-z-1=0, pi 2: x+2y-z-7 = 0
Soluções para a tarefa
As equações reduzidas na variável x são:
{y = (x + 3)/2
{z = 2x - 4.
Primeiramente, vamos determinar as equações paramétricas da reta.
Para as equações paramétricas, precisamos de um vetor direção e um ponto.
Como a reta é a interseção entre os planos 3x - 2y - z = 1 e x + 2y - z = 7, então o vetor direção será o produto vetorial entre os vetores normais (3,-2,-1) e (1,2,-1).
Assim,
u = (3,-2,-1) x (1,2,-1)
u = (4,2,8).
Da equação x + 2y - z = 7, podemos dizer que x = 7 - 2y + z. Substituindo o valor de x no outro plano:
3(7 - 2y + z) - 2y - z = 1
21 - 6y + 3z - 2y - z = 1
-8y + 2z = -20
-4y + z = -10
z = 4y - 10
e
x = 7 - 2y + 4y - 10
x = 2y - 3.
Os pontos da interseção são da forma (2y - 3, y, 4y - 10). Fazendo y = 1, obtemos o ponto (-1,1,-6).
Assim, as equações paramétricas da reta são:
{x = -1 + 4t
{y = 1 + 2t
{z = -6 + 8t
De x = -1 + 4t, obtemos:
4t = x + 1
t = (x + 1)/4
Portanto,
{y = (x + 3)/2
{z = 2x - 4.