Question

Estabelecer equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A(1,1,0), B(2,1,3), C(-1,-2,4)

Answer 1

Vamos tomar como base a equação vetorial do plano:

     $\mathsf{X=A+\alpha\cdot \overrightarrow{\mathsf{u}}+\beta \cdot\overrightarrow{\mathsf{v}}}$


Veja que se tivermos dois vetores e um ponto ponto podemos completar a equação. Vamos tomar o ponto "A" como principal e pegar dois vetores que passem por ele $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{AB}}}$ e $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{AC}}}$.


Ponto:

     $\mathsf{A=(1,1,0)}$


Vetor $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{u}}}$:

     $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{AB}}=B-A}$

     $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{AB}}=(2,1,3)-(1,1,0)}$

     $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{AB}}=((2-1),(1-1),(3-0))}$

     $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{AB}}=(1,0,3)}$


Vetor $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{v}}}$:

     
     $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{AC}}=C-A}$

     $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{AC}}=(-1,-2,4)-(1,1,0)}$

     $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{AC}}=((-1-1),(-2-1),(4-0))}$

     $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{AC}}=(-2,-3,4)}$


Com isso montamos a equação vetorial do plano:

     $\mathsf{X=(1,1,0)+\alpha\cdot (1,0,3)+\beta \cdot (-2,-3,4)}$


Sendo "X" um ponto no espaço tridimensional ele tem três componentes (x, y, z)

     $\mathsf{(x, y, z)=(1,1,0)+\alpha\cdot (1,0,3)+\beta \cdot (-2,-3,4)}$


A equação paramétrica apenas separa as componentes, coloca a coordenada "x" do ponto em função das coordenadas "x" dos vetores, e o mesmo para y e z.

     $\left\{\! \begin{array}{rcrcrcrc} \mathsf{x}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{1}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{\alpha}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{2\beta}\\\\\mathsf{y}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{1}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{0\alpha}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{3\beta}\\\\\mathsf{z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{0}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{3\alpha}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{4\beta} \end{array} \right.$


Reescrevendo sem os termos que são zero

     $\left\{\! \begin{array}{rcrcrcrc} \mathsf{x}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{1}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{\alpha}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{2\beta}\\\\\mathsf{y}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{1}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{3\beta}&\!\!\!\ \!\!\!&\mathsf{\ }\\\\\mathsf{z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{3\alpha}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{4\beta}&\!\!\!\ \!\!\!&\mathsf{\ } \end{array} \right.$


Bons estudos! :)

Answer 2

As equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A = (1,1,0), B = (2,1,3) e C = (-1,-2,4) são:

{x = 2 + t - 2s

{y = 1 - 3s

{z = 3 + 3t + 4s, com t, s ∈ IR.

Para escrevermos as equações paramétricas do plano precisamos de um ponto e dois vetores direção.

De acordo com o enunciado, o plano é formado pelos pontos A = (1,1,0), B = (2,1,3) e C = (-1,-2,4).

Os vetores AB e AC são paralelos ao plano. Sendo assim, eles são iguais a:

AB = (2,1,3) - (1,1,0)

AB = (2 - 1, 1 - 1, 3 - 0)

AB = (1,0,3)

e

AC = (-1,-2,4) - (1,1,0)

AC = (-1 - 1, -2 - 1, 4 - 0)

AC = (-2,-3,4).

Agora, basta escolhermos um dos três pontos citados para colocar nas equações paramétricas.

Escolhendo o ponto B = (2,1,3), podemos afirmar que as equações paramétricas são iguais a:

{x = 2 + t - 2s

{y = 1 - 3s

{z = 3 + 3t + 4s, com t, s ∈ IR.

Exercício sobre equações paramétricas: https://brainly.com.br/tarefa/20014488