Question

Estabelecendo as equações simétricas e reduzidas das retas que possui o ponto A(1,-2,3 e é paralela a reta definida pelo ponto B(2.0.1) e pelo vetor diretor v=(2,-2,3) encontramos respectivamente:

Answer 1

Podemos chamar de r a reta que queremos encontrar as equações e de s a reta dada.


Na reta s temos:

B = (2, 0, 1)
Vds = (2, -2, 3) (Vds = Vetor diretor de s)

A reta r tem o ponto A = (1, -2, 3)

Para encontrar as equações da reta r, precisamos de um ponto e de um vetor diretor (Vdr). O ponto já foi dado: A = (1, -2, 3), agora temos que achar um vetor diretor.

Como foi dito que as retas são paralelas, os vetores diretores de r e s também são paralelos, Vdr // Vds, se são paralelos, são Linearmente dependentes, e se são LD, podemos escrever um como combinação linear do outro. Então:

Vdr = a . Vds

Esse a pode ser qualquer numero, no caso vamos tomar a = 1, então temos que os vetores diretores são iguais. (Isso é possível porque existem infinitas retas paralelas a r, isso vai depender de qual o valor de a. No caso para a = 1 teremos uma dessas retas. )

Assim, agora para encontrar as equações de r:
Ponto A = (1, -2, 3)
Vdr = Vds =  (2, -2, 3)

Agora podemos escrever a equação Vetorial (Reduzida) da reta r:

Um ponto P = (x, y, z) pertence a r se, e somente se, AP = k. Vdr
AP = k. Vdr
P-A = k. Vdr
P = A+k . Vdr
(Equação Geral) (k é um parâmetro)

Vamos desenvolver para encontrar a equação simétrica:

(x, y, z) = (1, -2, 3)+k . (2, -2, 3)
(x, y, z) = (1, -2, 3)+(2k, -2k, 3k)
(x, y, z) = (1+2k, -2-2k, 3+3k)

Com isso montamos as equações paramétricas da reta r:

x = 1+2k
y = -2-2k
z = 3+3k

Para encontrar a equação simétrica, vamos isolar k em cada uma das paramétricas:

x = 1+2k
1+2k = x
2k = x-1
k = $\frac{x-1}{2}$

y = -2-2k
-2-2k = y
-2k = y+2
2k = -y-2
k = $\frac{-y-2}{2}$

z = 3+3k
3+3k = z
3k = z - 3
k = $\frac{z - 3}{3}$

Agora igualando os 3 k:

$k = \frac{x-1}{2} = \frac{-y-2}{2} = \frac{z - 3}{3}$

Essa é a equação simétrica.

Espero que tenha te ajudado