Question

Estabeleça a equação reduzida, sendo a variável x independente, da reta interseção dos planos:

π1: 3x-y+z-3=0
e
π2: x+3y+2z+4=0

Answer 1

Olá!
  
    A interseção de dois planos é uma reta, que tem vetor diretor paralelo aos vetores diretores de cada plano, isto é, ortogonal aos vetores normais do plano dado. Ou seja, será obtida pelo produto vetorial entre os vetores normais aos planos dados. Temos

Vetor normal a $\pi_1$ : $n_1=(3,-1,1)$
Vetor normal a $\pi_2$ : $n_2=(1,3,2)$

Produto vetorial entre $n_1$  e  $n_2$  :

$\Bigg| \begin{array}{ccc}i&j&k\\3&-1&1\\1&3&2\end{array}\Bigg| = (-2i-3i) + (j-6j)+(9k+k)=-5i-5j+10k$

Assim, podemos tomar o vetor $(-1,-1,2)$ como diretor da reta procurada.

Agora precisamos de um ponto desta reta. Tal ponto está na reta se estiver na interseção dos planos, isto é, se satisfizer ao sistema

$\Big\{^{3x-y+z=3}_{x+3y+2z=-4} \Leftrightarrow \Big\{^{x=7y+2}_{z=-3-2y}$

(Cheguei a esse sistema por escalonamento).

Veja, então, que um ponto da interseção dos planos é da forma

$(7y+2, y, -3-2y),\forall y\in\mathbb{R}$

Logo, para y = 0, por exemplo, o ponto (2, 0, -3) pertence à interseção dos planos. Sendo assim, tal interseção é a reta:

$r: (2,0,-3) +\lambda(-1,-1,2),\forall\lambda\in\mathbb{R} \Leftrightarrow \\ \\ x=2-\lambda \\ y=-\lambda \\ z=-3+2\lambda \\ \Leftrightarrow \\ \lambda = 2-x = -y = \dfrac{z+3}{2} \Leftrightarrow y=x-2, \;z=1-2x \\ \\ \therefore \\ \\ \Big\{^{y=x-2}_{z=1-2x}\; \; \; \; \; \forall x\in\mathbb{R}$

É a reta procurada (interseção dos planos dados).

Bons estudos! 

Answer 2

A equação reduzida é:

{y = x - 2

{z = -2x + 1.

Primeiramente, vamos determinar as equações paramétricas da reta.

Para isso, precisamos de um vetor direção e um ponto.

O vetor direção da reta será o produto vetorial entre os vetores normais dos planos, ou seja, u = (3,-1,1) x (1,3,2).

Fazendo o produto vetorial, obtemos:

u = -5i - 5j + 10k

u = (-5,-5,10).

Da equação do plano x + 3y + 2z = -4, podemos dizer que x = -3y - 2z - 4. Substituindo o valor de x na equação 3x - y + z = 3:

3(-3y - 2z - 4) - y + z = 3

-9y - 6z - 12 - y + z = 3

-10y - 5z = 15

-2y - z = 3

z = -2y - 3.

Assim,

x = -3y - 2(-2y - 3) - 4

x = -3y + 4y + 6 - 4

x = y + 2.

Os pontos de interseção são da forma (y + 2, y, -2y - 3). Fazendo y = 1, temos o ponto (3,1,-5).

As equações paramétricas da reta são:

{x = 3 - 5t

{y = 1 - 5t

{z = -5 + 10t.

De x = 3 - 5t, temos:

5t = -x + 3

t = (-x + 3)/5.

Portanto,

{y = x - 2

{z = -2x + 1.

Para mais informações sobre planos, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/18196418